线性代数--3-6线性方程组习题课.ppt

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1、数学科学学院陈建华线性代数向量线性方程组典型例题线性方程组习题课2.任一n维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合:1.是的线性组合(可由线性表示)有解(组合系数就是方程组的一个解)3.可表示为的线性组合一、向量有非零解(无)(只有零解)r

2、整体无关，则部分无关定理4.短无关，则长无关；长相关，则短相关.定理6.线性无关，线性相关可由唯一线性表示.定理1.n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数>向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.其中至少有一个向量是其余向量的线性组合定理5.向量组线性相关定理8.向量组与其极大无关组等价.推论向量组的任意两个极大无关组等价定理7.向量组(I)可由(II)，(II)可由(Ⅲ)线性表示向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示定理9向量组可由线性表示,若t>s，则向量组线性相关.推论1(逆否命题)线性表

3、示线性无关，且可由定理10推论：等价的向量组秩相等.可由线性表示推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等.推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等.定理11矩阵A的行秩＝列秩＝秩重要结论:行变换不改变列向量间的线性关系定理1设非齐次方程组Am×nX＝b，则(1)r(A)≠r(A)，原方程组无解(2)r(A)＝r(A)＝n，原方程组有唯一解(3)r(A)＝r(A)

4、O，r(A)＝r，则(1)r＝n，原方程组有唯一零解(2)r

5、A

6、＝0，则必有非零解.齐次线性方程组有非零解解的判定定理1.齐次线性方程组解的性质1)两解之和仍是解2)常数乘以解仍是解一般地，解的线性组合仍是解导出组2.非齐次线性方程组解的性质1)(1)的两解之差是其导出组的解2)(1)的一解与其导出组的一解之和仍是(1)的解解的性质定理1.齐次线性方程组解的结构定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组的一个基础

7、解系。定理3对齐次线性方程组(2)，若r(A)＝r

8、D)列向量组线性相关，若例2设矩阵A的伴随矩阵不为零，是非齐次线性方程组AX＝b的互不相等的解，则对应的齐次方程组AX＝O的基础解系()．(A)仅含一个非零解向量(B)含有两个线性无关的解向量(C)不存在(D)含有三个线性无关的解向量（练习卷P23第二题第3题）（练习卷P23第二题第5题）例3(94考研)设向量组求向量组的一个极大无关组，向量组的秩，并写出其余向量用该极大无关组的线性表达式.r＝3答案：例4(95考研)已知向量组(I);(II);(III).如果各向量组的秩分别为r(I)＝r(II)＝3，r(II

9、I)＝4，证明向量组的秩为4.线性无关,线性相关可由线性表示:证：设（练习卷P25第四题第6题）线性无关∴k1=k2=k3=k4=0线性无关请思考本题的其他解法例5设为非齐次线性方程组AX=b的一个解，是其导出组AX=0的一个基础解系，证明：线性无关．（练习卷P25第四题第4题）思考（练习卷P28第六题）例6设证明：向量组与等价。思考设是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明：也是该方程组的一个基础解系．（练习卷P25第四题第5题）（练习卷P25第四题第2题）例7a取何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无

10、穷多解？在方程组有解时，求出它的解．（练习卷P23第三题第2题）例8已知向量组与的秩相等，且可以由线性表示，求a,b．（练习卷P28第七题）课后作业：P140-141总习题三三1,3，7,8历史寻根