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《《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分知识讲解.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质第四章一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P185)若则(C为任意常数)C称为积分常数,不可丢!例如,记作不定积
2、分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻先由此求再由此求先求由知再求于是所求运动规律为由知故二、基本积分表(P188)从不定积分定义可知:或或利用逆
3、向思维(k为常数)或或例3.求解:原式=例4.求解:原式=三、不定积分的性质推论:若则例5.求解:原式例6.求解:原式=例7.求解:原式=例8.求解:原式=内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P188)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质思考与练习1.证明2.若(P193题7)提示:3.若是的原函数,则提示:已知4.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为5
4、.求下列积分:提示:6.求不定积分解：7.已知求A,B.解:等式两边对x求导,得作业P1922(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);5;6第二节第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)例1.求解:令则故原式=注:当时注意换回原变量例2.求解:令则想到公式例3.求想到解:(直接配元)例4.求解:类似例5.求解:∴原式=常用的几种配元
5、形式:万能凑幂法例6.求解:原式=例7.求解:原式=例8.求解:原式=例9.求解法1解法2两法结果一样例10.求解法1解法2同样可证或(P199例18)例11.求解:原式=例12.求解:例13.求解:∴原式=例14.求解:原式=分析:例15.求解:原式小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2.求提示:法1法2法3作业二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求
6、易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式例16.求解:令则∴原式例17.求解:令则∴原式例18.求解:令则∴原式令于是说明:1.被积函数含有除采用三角采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考P204~P205)或代换外,还可利用公式2.再补充两个常用双曲函数积分公式原式例19.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲2.常用基本积分公式的补充(P205~P206)7)分母中因子次数较高时
7、,可试用倒代换令解:原式(P206公式(20))例20.求例21.求解:(P206公式(23))例22.求解:原式=(P206公式(22))例23.求解:原式(P206公式(22))例24.求解:令得原式例25.求解:原式令例16例16思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令2.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)P2072(4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(42
8、),(44)作业第三节备用题1.求下列积分:2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得分子分母同除以3.求不定积分解:令原式第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.分部积分法第四章例1.求解:令则∴原式思考:如何求提示:令则原式例2.求解:令则原式=例3.求解:令则∴原式例4.求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,
