立体几何中的折叠与展开问题

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1、立体几何中的折叠与展开问题一、折叠与展开中的垂直问题例1.将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上．求证：分析：欲证，只须证与所在平面垂直；而要证⊥平面，只须证⊥且⊥AD．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了．证明：由题意，⊥，又斜线在平面ABCD上的射影是BA，∵BA⊥AD，由三垂线定理，得，．∴⊥平面，而平面∴⊥例2.如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间

2、的数量关系和位置关系。解：∵FG∥BC，AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC设A'E=a，则ED=2a由余弦定理得：A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°=3a2∴ED2=A'D2+A'E2∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC例3.如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.ＥＤＢＡＥＤＣＢＡ解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝；二、折叠与展开中

3、的空间角问题例4.矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。　　这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设

4、射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tgc∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5,tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。例5.在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a

5、A．0B．C．D．解析：由图可知CE=BE=当时，CB=。为所求平面角，由余弦定理得cos。选（C）。例6.一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD等于()A.120°B.150°C.135°D.90°解析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BO＝a,DO＝a，连AB，因为DA⊥AE，DA⊥BE，故DA⊥面AEB，所以DA⊥AB，故ΔDAB为直角三角形，BD＝＝＝=a.又在ΔBO

6、D中，由余弦定理可得cos∠BOD＝＝＝-，所以∠BOD＝120°评析：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。例7.如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.(1)求证：AD⊥EC，且与二面角F—AD—C的大小无关；(2)FC与FE所成的角为30°时，求二面角F—AD—C的余弦值.解析：(1)正六边形ABCDEF，在折叠前有AD⊥EC，设AD与EC交于M，折叠后即有AD⊥ME，AD⊥MC.则AD⊥平面EMC，无论∠EMC的大小如何，总有AD⊥E

7、C.(2)利用余弦定理，有cos∠EMC＝三、折叠与展开中的距离与体积问题例8.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以AC为轴翻折半平面，使二平面角B—AC—D为120°，求：(1)翻折后，D到平面ABC的距离；(2)BD和AC所成的角.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FB′∥BE，过B作BB′∥AC，交点B′，则四边形EFB′B是矩形.∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠DF′B就是二面角B—AC—D的平面角，亦即∠

8、DFB′＝120°.过D作DO⊥B′F，垂足为O.∵DO平面DFB′，AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC.在RtΔADC中，CD＝2，AD＝2，∴D