上海交通大学流体力学第一章课件复习课程.ppt

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1、上海交通大学流体力学第一章课件C1.2流体平衡微分方程C1.2.1欧拉平衡方程由N-S方程可得欧拉平衡方程常数时，直接求解，联立求解压强分布体积力压强梯度00C1.2.1欧拉平衡方程(2-1)u=v=w=0，对静止流体C1.1引言(工程背景)C1.2.1欧拉平衡方程(2-2)由欧拉平衡方程称为压强全微分式，表示体积力在任何方向的投影为该方向的压强增量。设密度分别为ρ1和ρ2的两种互不相混的液体放在同一容器中，试证明当它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。[例C1.2.2]两种液体的分界面：等压面解：在分界面上任取相邻dr的两点A和B

2、，dp=pA-pB。对液体1dp=ρ1(fxdx+fydy+fzdz)dp=ρ2(fxdx+fydy+fzdz)对液体2两式分别除以ρ1和ρ2，再相减可得由于ρ1≠ρ2，要使上式成立,只有dp=0，证明分界面必为等压面。讨论：当容器以恒角速度绕中轴旋转，两种液体均处于相对平衡状态时其分界面也是等压面。ABC1.2.2等压面沿等压面压强增量为零，即。或称为等压面微分方程式，上式表明体积力处处与等压面垂直。静止流体中等压面为水平面;绕垂直轴旋转的流体中，等压面为旋转抛物面。C1.2.2等压面C1.2.3流体平衡的条件即体积力必须有势：为

3、势函数上式成立的充分必要条件是对均质流体，ρ=常数,压强全微分式化为重力是有势力因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。C1.2.3流体平衡的条件(2-1)C1.2.3流体平衡的条件(2-2)对正压流体，ρ=ρ(p)引入一个压强函数上式成立的充要条件也是体积力必须有势。因此正压流体在重力场中也能保持平衡状态。3.对斜压流体ρ=ρ(p，T)，可以证明不能在重力场中保持平衡。如赤道和极地的大气，大范围的海水等。均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）在平衡时，等压面、等势面、等密度面三者重合：[例C1.2.3]贸易风：流体平衡条件大气

4、满足完全气体状态方程p=RρT(B1.4.5)差悬殊，由（B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。用于静止流体上式适用于全流场，表示总势能守恒。若写成表示总水头保持不变。(a),(b)式

5、均称为流体静力学基本方程。适用条件：连通的同种均质重力流体。将伯努利方程C1.3流体静力学基本方程(a)(b)C1.3流体静力学基本方程(2-1)流体静力学基本方程的常用形式为说明两点的测压管水头相等。C1.3流体静力学基本方程(2-2)当保持不变时，改变引起同时改变，这就是帕斯卡原理.C1.4均质液体相对平衡当液体以等加速度a作直线运动或以等角速度（向心加速度)旋转并达到稳定时，液体象刚体一样运动，N-S方程fg为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，f=fg–a也是有势力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。C1.4.1等加速直线运动

6、设液体以等加速度a沿水平方向作直线运动体积力分量fx=-a,fy=0,fz=-gC1.4均质液体相对平衡(3-1)C1.4.1等加速直线运动(3-2)由压强全微分式积分得压强分布式设坐标原点在液罐底部中点，静止时的液位为z0,即x=0，z=z0，p=p0,，可得C=p0+ρgz0压强分布式为压强分布C1.4.1等加速直线运动(3-3)由dp=－ρ(adx+gdz)=0，等压面方程为C不同时得一簇平行斜平面，自由液面(x=0,z=z0)上C=gz0。设自由液面垂直坐标为zs，方程为等压面ax+gz=C或代入压强分布式，令h=zs－z，

7、可得证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。设液体以等角速度ω绕中心轴z轴旋转体积力压强分布积分得设坐标原点在底部中点，自由液面最低点的坐标r=0，z=z0，压强p=p0,可得C=p0+ρgz0.压强分布式为C1.4.2等角速度旋转运动fx=ω2x，fy=ω2y，fz=－gC1.4.2等角速度旋转运动(2-1)C1.4.2等角速度旋转运动(2-2)等压面代入压强分布式，令h=zs-z，可得由积分得证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。C不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面(r=0，z=z0)上C=－gz0。设自由液面垂直坐

8、标为ｚs，方程为[例C1.4.2]匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-1)已知:一封闭圆筒，高H=2m，半径R=0.5m，注水高H0=1.5m，压强为p0=1000N/m2。圆筒开始旋转并逐渐加速求:(1）当水面刚接触圆筒顶部时的ω1