2、-4)(x-6).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表,由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.x(3,4)4(4,6)f′(x)+0-f(x)单调递增极大值42单调递减【拓展提升】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和
3、f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题作答.【变式训练】请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).(1)某厂商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm
4、)，底面边长为a(cm).由已知得a＝，h＝，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值.(2)V＝a2h＝(－x3＋30x2)，V′＝x(20－x).由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.考向2利用导数解决不等式问题【典例2】(1)(2013·福州模拟)f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是()(A)f(a)＜
5、eaf(0)(B)f(a)＞eaf(0)(C)f(a)＜(D)f(a)＞(2)(2012·辽宁高考)设f(x)=lnx+-1,证明：①当x＞1时，f(x)＜(x-1);②当1＜x＜3时，f(x)＜【思路点拨】(1)观察选项知,所要比较的两数为的大小,故可构造函数g(x)=,利用其单调性来比较.(2)构造函数,借助函数单调性证明不等式.同时应注意对于不等式中的无理式,可利用基本不等式放缩后,变为整式或分式的形式后再证明.【规范解答】(1)选B.令g(x)＝∴g′(x)＝>0，∴g(x)在R上为增函数，又∵a>0.∴g(a)>g(0)，即即f(a)>eaf(0).(2)①方法一：
6、记g(x)＝lnx＋－1－(x－1).则当x>1时，g′(x)＝<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.又g(1)＝0，有g(x)<0，即f(x)<(x－1).方法二：由基本不等式知，当x>1时，1时，f(x)<(x－1).②方法一：记h(x)＝f(x)－，得h′(x)＝令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当17、)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(1,3)内是减函数，又h(1)＝0，得h(x)<0.于是当1
