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1、第二讲分式的恒等变形【专题知识点概述】分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。一：基本知识1.分式的运算规律（1）加减法：abab(同分母)cccadacbd(异分母)bcbc（2）乘法：acacbdbd（3）除法：acadbdbc（4）乘方：(a)nanbbn2.分式的基本性质（1）aam,aam(m0)bbmbbm（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值
2、不变。3.比例的重要性质（1）如果ad,df那么af（传递性）bccebe（2）如果ad那么acbd（内项积等于外项积）bc（3）如果ac那么abcd(合比性质)bdbc（4）如果ac,(bd0)那么acbd(合分比性质)bdacbd（5）如果acm,且bdn0,bdn那么acma(等比性质)bdnb.4.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。（3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，
3、如何灵活巧妙的运用乘法公式。例1.若a、b、c均为非零常数，且满足abcabcabc，cba又x(ab)(bc)(ca)，且x0,求x的值。abc例2.已知113,求2x3xy2y的值xyx2xyy.例3.已知三个正数a、b、c满足abc=1,求abc的值aba1bcb1acc1例4.已知aa2bc0bcacb2abc2求abc的值。2)22)22)2(bca(acb(abc例5.已知xyz1,abc0,abcxyz求x2222y2z2的值。abc.例6.已知x+y+z=3a(a0,且x、y、z不全相等)，求(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)的值。(xa)2(ya)2(za)
4、2例7.已知b2c2a2c2a2b2a2b2c21，n是自然数，2bc2ca2ab求(b2c2a2)2n1(c2a2b2)2n1(a2b2c2)2n1的值。2bc2ca2ab例8.若xa1,求1x3x2x2的值。2.例9.已知x2x1，试求分式x4x2的值。x14x21例10.已知三个不全为零的数x、y、z满足4x3y6z0，x2y7z0。求2x23y26z2x25y27z2的值。例11.若x、y、z为有理数，且(yz)2(zx)2(xy)2(yz2x)2(zx2y)2(xy2z)2求(yz1)(zx1)(xy1)的值(x21)(y21)(z21).例12.已知a、b、c互不相等，且满足a
5、+b+c=0,求a2b2c22bc2b2ac2c2的值。2aab例13.已知ab,a0,b0,ab0,x4ab，求x2ax2b的值。abx2ax2b例14.若abcabcabc，求(ab)(ac)(bc)的值。cbaabc.例15.如果p,q,2p1,2q1都是整数，且p1,q1,求pq的值。qp三、有关分式的化简问题例16.化简abbcca(ab)(bc)(ca)。abbcca(ab)(bc)(ca)111x21x13例17.化简(x22x2x。x)[xx1x1]x212x23xx2x.例18.化简x2x3xnx1(x1x2)(x1x2)(x1x2x3)(x1x2xn1)(x1x2xn)
6、例19.已知a2b2(abc)2，并且b0，化简a2(ac)222。b(bc)例20.若xmn0，化简ax2ax。m2nmxnm.例21.化简：(yx)(zx)(zy)(xy)(xz)(yz)(x2yz)(xy2z)(xy2z)(zy2x)(yz2x)(x2yz)三、有关分式的证明问题例22.若abc0且bccaab0，求证：abcbcbccacaabab0b2c2c2a2a2b2例23.已知有理数a、b、c满足a+b+c=0，abc=8.试判断111是abc正数、负数、还是零。.例24.已知有理数a、b、c满足1111，求证：abcabcab或bc或ca。例25.若n为自然数，且1111
7、，求证：abcabc1111a2n1b2n1c2n1a2n1b2n1c2n1例26.证明：对于任意自然数n，分数21n4不可约。14n3.例27.已知abc0，且a、b、c都不等于0,求证：a(11)b(11)c(11)30。bcacab例28.证明：111n1a(ad)(ad)(a2d)[a(n2)d][a(n1)d]a[a(n1)d]例29.设n为正整数，求证：1112n1)1。1335(2n1)(2.例30.若xy
