第二章-随机变量及其分布.ppt

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1、1第二章随机变量及其分布随机变量随机变量的分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布2从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的特殊函数；为了能用变量、函数及微积分等工具来研究事件发生的概率，需要引入概率论中的重要概念――随机变量。§2.1随机变量3定义：设E是一个随机试验，Ω是其样本空间，如果对每一个，有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X是E的一个随机变量。说明3引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在实数轴上某一个集合中的取值来表示。所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。4例2.观察某网站在一段时间内被点击次数。例3.观察灯泡

2、的使用寿命t.例1.从含有2个黑球，3个白球的盒子中任取3个球，观察取出球的情况。若令X表示取出的3个球中黑球的个数5§2.2随机变量的分布函数对于随机试验而言，仅仅知道可能出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能性有多大。对于随机变量X来说，就是X取什么值不重要，重要的是X取这些值的概率有多大。6注意（1）分布函数的定义域为一切实数；（2）分布函数在x处的取值表示的是随机变量X在上的概率。定义：设X是一个随机变量，是一个实数，函数就称为随机变量X的概率累积分布函数(cdf:cumulativedistributionfunction)，简称分布函数

3、。7分布函数的性质：（1）单调增，即若，则有（2）且（3）右连续，即具有上述3条性质的函数一定是某个随机变量的分布函数。8例1、判断以下函数是否为分布函数：9关于分布函数还有一些常用公式：（1）（2）（3）（4）10§2.3离散型随机变量离散型随机变量：如果随机变量的取值个数有限，或者可数，则其取值能按一定的次序一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量。11定义：如果离散型随机变量X的一切可能取值为，则称P(X=xk)＝pk为随机变量X的分布律(列),也称概率质量函数pmf:probabilitymassfunction。分布律常常用表格的形式表示：X

4、x1x2…xk…Pp1p2…pk…2.3.1离散型随机变量的分布列12分布律的性质：反之，若数列满足这两条性质，则一定是某一离散型随机变量的分布律。（1）（2）13例1.设离散型随机变量X的分布列为求正数a的值。例2.设离散型随机变量X的分布列其中，为已知，求常数C。14离散型随机变量X的分布函数为例3.求随机变量X的分布函数。X的分布列为X012315定义：把试验E在相同的条件下重复进行n次，各次试验的结果有限且互不影响，则称这n次试验为n次独立试验。如果试验只有两个结果（），则称为贝努里试验。n次独立的贝努里试验又称为n重贝努里试验。162.3.2常见的离

5、散型随机变量（1）(0-1)分布(两点分布)(two-pointdistribution)其中，则称X服从（0-1）分布。（0-1）分布的随机变量X对应贝努里试验里成功（A事件）的次数。P(A)=p设随机变量X只可能取0和1两个数值，它的分布律为17（2）二项分布(Binomialdistribution)若随机变量X的分布律为其中，则称X服从参数为n,p的二项分布，记为，当时，就是(0-1)分布。二项分布随机变量X对应n重贝努里试验中成功的次数。P(A)=p18定理：设X是n重贝努里试验中成功（A发生）的次数，则X~B(n,p)，其中p=P(A)19定理：设

6、X~B(n,p)，m=(n+1)p,则设k为事件A最可能成功的次数，称P(X=k)为二项分布的中心项。20泊松定理可用泊松分布近似计算二项分布的概率，通常要求21例4.把3个球任意地放到4个盒子中，令X表示落到第1个盒中球的个数，求X的分布列。例5.甲乙两种名酒各4杯，从中任取4杯，若取出的都是甲种酒称试验成功（A），求：1.试验一次获得成功的概率；2.某人称能区分这两种酒，让他做了10次试验，结果成功了3次，试判断此人是否真的有区分这两种酒的能力。23（3）泊松分布（Poissondistribution）设随机变量X可能取的值为一切非负整数，而取值k的概

7、率为，其中是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P()。设k为最可能成功的次数，则称P(X=k)为泊松分布的中心项。服从泊松分布的随机现象特别集中在两个领域中。一是社会生活中：如电话交换台中收到的呼叫次数，公共汽车站到来的乘客数，某地区某时间间隔内发生的交通事故次数等等。二是物理学领域：放射性物质经过某区域的质点数，显微镜下某区域的微生物或血细胞数目等等。Poisson分布主要用于描述在固定时间(空间)中稀有事件的发生数Possion分布基本特性一个Poisson过程有三个基本特性：(1)在长度为t的时间段内，发生一次事件的机率与t成正比：。(2)瞬间

8、发生两次及两次以上事件的机率可以忽略。