浅谈随机化思想在几何问题中的应用..讲课讲稿.ppt

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1、浅谈随机化思想在几何问题中的应用..概览数值概率算法拉斯维加斯算法蒙特卡罗算法舍伍德算法第一部分随机算法简介第二部分随机增量算法第三部分模拟退火算法随机增量算法的一个例子ExpensiveDrink(BeijingSite,2007)（经过抽象）maximizes.t.……单纯形法、内点法？(n≤100)ExpensiveDrink随机增量算法的一般步骤发现问题的本质提出算法改造成增量算法加入随机ExpensiveDrink解解解结论1：如果存在解，必然存在于三个平面的交点上。ExpensiveDrink想法：枚举两个平面，得到一条直线。枚举其余约束，切割该直线。结论

2、1：如果存在解，必然存在于三个平面的交点上。ExpensiveDrink想法：枚举两个平面，得到一条直线。枚举其余约束，切割该直线。直到最后剩下一条线段。结论1：如果存在解，必然存在于三个平面的交点上。ExpensiveDrink直线数量O(n2)切割复杂度O(n)总复杂度O(n3)仍需要提高结论2：只有线段的两个端点可能成为解。结论1：如果存在解，必然存在于三个平面的交点上。ExpensiveDrink症结：没有利用到之前已经计算的结果对症：引入增量算法。依次加入半空间的时候，若原先的最优解为v，且满足当前的约束，就没有必要枚举平面上的直线了。ExpensiveDr

3、ink复杂度仍旧为O(n3)对策：随机插入半空间的顺序ExpensiveDrink复杂度仍旧为O(n3)对策：随机插入半空间的顺序复杂度分析取随机变量Xi，若满足前i-1条约束的最优解满足第i条约束，则Xi=0，否则Xi=1。时间复杂度为根据期望的线性率有是多少呢？最优解由3个约束构成，恰好包括第i条约束的概率就是。在本题中，增量算法架筑起了线性规划问题与经典几何知识的桥梁，随机化思想则消除了输入数据的顺序对于复杂度的影响。本题也体现出随机算法简单、快速（相对于单纯形法）的特点。ExpensiveDrink下面将介绍论文中的第二个算法：模拟退火算法。模拟退火算法简介模

4、拟退火（SimulatedAnnealing）算法是模仿自然界中固体退火的原理的一种元启发式（Meta-Heuristics）算法。①初始化：初始充分大的温度T，初始解状态S，迭代数L②fork=1toL做③至⑤③产生新解S’并计算评价函数C(S’)④若C(S’)

5、。通过类比的思想，引入模拟退火算法：随机初始解，温度T定义为调整向量的模长。估价函数定义为到最近点的距离。如果函数值变大，则更新原解。最小距离问题随机初始解，温度T定义为调整向量的模长。估价函数定义为到最近点的距离。如果函数值变大，则更新原解。求区域中一点，到某个点集中的点的最小距离最大。通过类比的思想，引入模拟退火算法：最小距离问题模拟退火算法有并行性。求区域中一点，到某个点集中的点的最小距离最大。不断重复这一过程，直到步长足够小。取当前最优解作为答案。通过类比的思想，引入模拟退火算法：模拟退火算法的应用模拟退火算法有很强的可移植性。最小距离最大对应于最近点Voro

6、noi图解最大距离最小最远点Voronoi图解第k大距离最小k阶Voronoi图解经过反射后距离最小和距离最小倒数和距离最小模拟退火算法的例子激光坦克（CTSC2007）在平面上有N个坦克，M个镜子。要求在平面内放置一个激光发射器，使得它在发出的每束激光经过不超过k次反射后击中所有目标的前提下，距离的最大值最小。N=4M=4k=2模拟退火算法的例子激光坦克（CTSC2007）N=4M=4k=2本题是一个最大距离最小的问题，如果不考虑镜子的因素，可以使用最远点Voronoi图或前面的随机增量算法来解决，但是镜子的存在使得问题非常棘手。模拟退火算法的例子激光坦克（CTSC

7、2007）N=4M=4k=2此时，模拟退火算法的可移植性的优势就体现了出来，我们可以在主算法的框架上，分别独立编写与镜子不同次数相交的评价函数。激光坦克的得分与代价Testcasek不处理反射处理一次反射处理两次反射601010102110101031010107111010521010108261010139101043101010930010105000总得分568090代码长度90160240300总结本文通过几道例题，以及体现出的一种思想，希望能为大家打开一扇窗，在遇到几何问题的时候多一种思路。当然，随机化思想的灵活运用，是在对于经典问题熟练