第8章-边界元法ppt课件.ppt

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1、第8章边界元法本章基于加权余量法，阐述了构造边界元法的数学基础———边界积分方程。由此，引入微分方程基本解和格林公式，进一步导出了对应于边界上未知量为场量φ、A、E、和H的直接边界积分方程。以数值求解边界积分方程为目的，本章介绍了两种最基本的边界元法的构造模式：常数单元和线性单元的计算模式。并借助于高斯求积公式给出各系数矩阵的元素值。本章最后给出二维边界元法典型应用的示例，讨论了方法实施的全过程，以及可供参考使用的计算程序，并通过本方法与其他方法计算结果的对比，进一步展示了本方法的特点。8.1概述边界元

2、法（BoundaryElementMethod，简称BEM）是近20余年来发展形成的一种数值计算方法。该方法的工程应用起始于弹性力学，现进而应用于流体力学、热力学、电磁工程、土木工程等诸多领域，并已从线性、静态问题延拓到非线性、时变问题的研究范畴。边界元法是把边值问题等价地转化为边界积分方程问题，然后利用有限元离散技术所构造的一种方法，其主要特点是：1）降低问题求解的空间维数。本方法将给定场域的边值问题通过包围该场域边界面上的边界积分方程来表示，从而降低了问题求解的空间维数。也就是说，三维问题可利用边界

3、表面积分降维为二维问题；而二维问题则利用边界的线积分降维为一维问题。因此，有限元离散仅对应于二维曲面单元或一维曲线单元，使方法的构造大为简化。2）方程组阶数降低，输入数据量减少。如前所述，待求量将仅限于边界节点，这不仅简化了问题的前处理过程，而且大幅度降低了待求离散方程组的阶数。3）计算精度高。本方法直接求解的是边界广义场源的分布。根据不同的问题，广义场源可以是位势、场源或等效场源。场域中任一点的场量将通过线性叠加各离散的广义场源的作用而求得，毋需再经微分运算。此外，由于只对边界离散，离散化误差仅仅来源

4、于边界。所以边界元法较之有限元法，可望有较高的计算精度。4）易于处理开域问题。本方法只对有限场域或无限场域的有限边界进行离散化处理并求解，因此特别适用于开域问题。然而，边界元法与有限元法相比较，其明显的不足之处是：1）系数矩阵为非对称性的满阵。显然，这就引发了应用计算机求解大型离散方程组的困难，从而约束了边界元方程组的阶数。2）系数矩阵元素值需经数值积分处理，故系数矩阵的建立需要较多的计算机时。3）不易处理多种媒质共存的问题。8.2基础知识8.2.1格林公式设V为空间中某一闭域，其表面为S。若有两个标量

5、函数φ和ψ，它们在V域内及S面上分别存在连续的一阶和二阶偏导数，则所构成的向量ψ∇φ满足如下的高斯散度定理：式中，en为S面的外法线方向的单位向量；为法向导数。根据向量恒等式将式（8-2）代入式（8-1）可得上式称为格林第一公式。若将ψ和φ交换位置，即对向量φ∇ψ进行同样的处理，便得以式（8-3）减去式（8-4），则有上式称为格林第二公式，亦称为格林定理。8.2.2基本解若考虑一线性微分方程式中，L是线性微分算子，f是给定的激励源。则满足方程的解u（r，r′）称为对应于方程（8-6）的基本解。式（8-

6、7）中的激励源项为狄拉克δ函数，由定义式（7-20）可见其具有点源性质。u（r，r′）亦可称为下列方程的基本解，即限于篇幅，这里不讨论基本解的求解方法，而是直接给出电磁场工程问题，如静态电磁场问题常用的基本解。静态场问题可由泊松方程或拉普拉斯方程的定解问题一般地描述为其二维问题的基本解为三维问题的基本解为式中，r是源点到场点间的距离；u则代表位势或场量的某一分量。从以上基本解的定义可以看出，基本解的实质是集中量（点源）Cδ（r-r′）在空间产生的效应。就线性微分方程而言，如果激励场源是一连续分布量，那么

7、它所产生的效应可以根据线性叠加原理，表示成无数个集中量所产生的效应的叠加。也就是说，连续分布量所产生的效应可以用基本解乘以连续分布量的密度函数的积分来表示。显然，如静电场中泊松方程的基本解［式（8-11a）］，即表示在无界空间位矢为r′的点上放置一电量为ε0的正电荷，它在与其相距r处所产生的电位值φ=1/(4πr)。由此可知，呈体电荷密度ρ分布的场源在该场点产生的电位就等于此基本解乘以ρdV′/ε0，然后对应于源区的体积分，即8.2.3加权余量法的推广在第7章中已经讨论了可以构成矩量法、伽辽金有限元法等

8、的共同数学基础———加权余量法。该方法表明，给定微分方程的近似解在场域内不能精确地满足微分方程，因而存在余量，于是通过令该余量在平均意义上，其加权积分为零，即得加权余量式（7-4）。应该指出，该式对应的是加权余量法的最简情况，即所选择的近似函数可以精确地满足边界条件，但不能精确地满足微分方程。现在从一般性的加权余量法展开讨论，假设定解问题为式（8-9a）、式（8-9b）和式（8-9c）所描述的三维线性泊松场。设其近似解是某一线性无关的完备函