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时间：2020-11-23
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1、§5矢量空间的直和与直积§5-1直和空间§5-2直积空间§5-1直和空间这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。定义这个空间中的三种运算：加法：（5.1）在直和空间中的加法单位元（零矢量）是数乘：内积：（5.2）（5.3）如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积可按分配律展开。（5.5）（5.6）如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢量，则上式可按分配律展开。算符的加法和乘法可根据上述定义得出：（5.7）(5.8)直和空间的维数：由此可以看出，若取直和空间的基矢为（5.9）
2、（5.10）（5.11）（5.12）（5.13）（5.14）当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切关系都是明显的，这里不在赘述。§5-2直积空间（5.17）数乘：(5.18)内积：此外，还有一个直积的分配律：(5.19)(5.20)(5.21)算符运算有下列的关系：(5.22)(5.23)(5.24)从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间的乘号也可以省去。算符的直积：(5.25)这时(5.26)(5.27)(5.28)可以
3、写成(5.30)直积算符的矩阵表示：此式可以写成一种便于记忆的形式：(5.32)(5.31)在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积，两个矩阵（可以不是方阵）的直积的定义就是（5.31）式。以上我们对于两个矢量空间的直积作了一些讨论，当然也可以用同样的方法讨论两个以上空间的直积。
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