贝塞尔曲线ppt课件.ppt

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1、8.贝塞尔曲线和曲面贝塞尔曲线引论贝塞尔曲线的性质贝塞尔曲线的算法贝塞尔曲面8.1贝塞尔曲线引论法国工程师PierreBézier在1862年提出了便于设计师应用的一类参数曲线为雷诺公式设计汽车，称为Bézier曲线，受到工业界和学术界的重视。1872年英国的福里斯特发现Bézier曲线可以方便地用控制顶点的Bernstein基函数来表示，成为被广泛采用的Bézier曲线的定义。在二维或三维空间给定n+1个点P0、P1、P2、…、Pn。参数t的n次的Bézier曲线是其中P0、P1、…、Pn都是二维

2、或三维空间的点，称为控制点，称Bk,n(t)是n次Bernstein基函数.，Bernstein基函数的性质1、非负性：Bk.n(t)0，而且，Bk.n(0)=k,0,Bk.n(1)=k,n当k=1,2,…,n-1时2、权性：3、对称性：4、导数：5、最大值：在t=k/n时取得最大值。6、递推公式：事实上，当k=1,2,…,n-1时7、升阶：当k=0,1,…,n时证明：第三式可以由前两式推出。8.2贝塞尔曲线的性质1、端点的位置：Bézier曲线通过第一个控制点P0和最后一个控制点Pn。这是因

3、为2、端点的切线：Bézier曲线的切矢量是3、端点的曲率K(0)=

4、nP0P1n(n-1)(P1P2-P0P1)

5、/

6、nP0P1

7、3=(n-1)/n

8、P0P1P1P2

9、/

10、P0P1

11、3K(1)=(n-1)/n

12、Pn-2Pn-1Pn-1Pn

13、/

14、Pn-1Pn

15、3P0P1…Pn称为Bezier曲线的控制顶点，它们组成控制多边形．4、仿射不变性Bezier曲线的形状和位置仅与控制点的位置有关。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1

16、,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择5、凸包性由于Ｂernstein多项式的性质，Bezier曲线落在控制点的凸包内6、交互能力移动第k个结点，对Bezier曲线在t=k/n处的影响最大．7、变差缩小性若Bezier曲线的特征多边形P0P1...Pn是一个平面图形，则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。特别地，凸的控制多边形，生成

17、凸的Bezier曲线。设P0、P、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P点的切线交P0P1和P2P1于Q和R，则抛物线的三切线定理是P0P1P2PQR当P0和P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t),Q=(1-t)P0+tP1,R=(1-t)P1+tP2，P=(1-t)Q+tR,当t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。8.3贝塞尔曲线的算法将一、二式代入第三式得：P=(1-t)2P0+2t(1-t)P1

18、+t2P2当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P0,2可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P0,3可被定义为分别由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个

19、控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0,n-1与P1,n-1的线性组合。8.4Bezier曲面利用Bezier曲线的性质，张量积形式的Bezier曲面的定义可以如下定义。两组正交的Bezier曲线的控制顶点可作为矩形网格。设Pij(i=0,…,n;j=0,…,m)为空间点列，这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格，其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的mn次张量积形式的Bezier曲线为其矩阵形式是其中，是k次Bernstein基函数。在一般实际应用中，n,m不大

20、于4。Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面。但是，其它许多性质可推广到Bezier曲面。根据上述定义，1.Bezier曲面的几何位置依赖于控制顶点，而与坐标系无关（几何不变性）；2.Bezier曲面有关于参数的对称性；3.Bezier曲面有凸包性。P03P13P23P33P02P01P00P10P20P31P32P11P21P12P22P(u,0)P30P(1,v)P(u,1)P(0,v)