《贝塞尔函数讲解》PPT课件.ppt

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1、第五章贝塞尔函数5.1贝塞尔方程在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分布，与时间没有关系。分离变量在极坐标系中：化简引入常量欧拉方程5.1.1贝塞尔方程的导出假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这分离变量化简引入常量Helmholtz方程(5.5)为了求Helmhol

2、tz方程(5.5)，可在极坐标中进行求解(5.7)(5.8)解：采用分离变量再次分离变量(5.9)(5.10)由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此应是以2为周期的函数。因此，,方程(5.10)的解为：将代入(5.9)式得到(5.11)n阶贝塞尔方程令，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为：(5.12)贝塞尔方程由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此，,结合边界条件，(5.11)式可定义为求解以下定解问题。(5.12)为二阶变系数常微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数(5.12)贝塞尔方程求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下

3、幂级数解：(5.13)将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12)，整理得到：故有：由于，可得,需要分别讨论：(5.14)(5.15)(5.16)情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：(5.17)(5.18)Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数将所求的系数代回(5.13)式得到第一个特解引入函数并利用其递推式：，则一般项的系数变为：取s2=-n时：(5.19)可以得到方程另一个特解J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数Jn(x)和J-

4、n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：(5.20)令，则(5.20)可写成(5.21)第二个线性无关特解贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：(5.22)情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理，当n>=0时，方程的一个解为：(5.23)(5.21)可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可以表示为：情形3：n为半奇数后面讨论。Jn（x）Yn（x）Kn（x）In（x）(5.18)5.2贝塞尔函数的递推式由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：第二类贝塞尔函数半奇数阶贝塞尔函数5.1.2.虚宗量贝

5、塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程定义：通解：5.3贝塞尔函数展开为级数由于圆盘上温度的定解问题可表示：贝塞尔方程(5.32)的通解可表示为：(5.32)(5.33)(5.34)由于(5.34)式可知：当取不同值时，Jn(x)有零值,即贝塞尔函数的零点。由于为无穷大，由边界条件可以得到D=0，再利用另一个条件可以得到：1.Jn(x)有无穷多个零点,关于原点对称分布。2.Jn(x)的零点和Jn+1(x)的零点是彼此相间分布，且Jn(x)的零点更靠近坐标原点。3.当x趋于无穷大时，Jn(x)两个零点之间的距离接近于π。J0(x)J1(x)利用上述关于贝塞尔函数的零点的结

6、论，可设为Jn(x)的正零点，则由（5.34）可得：即与这些固有值相对应的函数F可表示为：二、正交关系贝塞耳方程是施图姆－刘维尔本征值方程：在区间(0,R)上带权r正交：三贝塞耳函数的模定义积分：的平方根，为贝塞尔函数的模：四傅立叶-贝塞耳级数在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数按贝塞耳函数展开为级数。如果f(r)为定义在区间(0,R)内的分段连续函数，且积分的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：(5.42)性质：1.在级数f(r)的连续点(5.42)收敛于f(r);2.在级数f(r)的间断点r0收敛于该点的左右极限平均值。傅立叶-贝塞耳级数(5.43)系

7、数Cm可以由下式确定：傅立叶-贝塞耳系数