复变函数-第六章保形映射ppt课件.ppt

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1、第六章保形映射这一章,我们从复平面间映射的角度来研究复变函数保形映射,顾名思义是保持形状的映射.人们利用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、电磁学以及其他方面的许多重要问题，比如：1.网格的保形变换，用以计算船体表面积2.茹可夫斯基变换，设计机翼，减小空气阻力，增加浮力1z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果z'(t0)0,a

2、.与z(t0)z(a)z(b)z'(t0)曲线的概念2事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示的向量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.z'(t0)3因此,我们有Argz'(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z041.解析函数的导数

3、的几何意义设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f'(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线:z=z(t),atb,且z0=z(t0),z'(t0)0,a

4、夹角是Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0).若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角,则1)导数f'(z0)0的辐角Argf'(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角;OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw即Argf'(z0)=Argw'(t0)-Argz'(t0)62)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这

5、样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w07相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性.yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G283)称为C在z0的伸缩率.上式表明

6、f'(z)

7、是两象点间距离和两原象点间距离比值的极限，从而可视为映射w=f(z)在点z0处沿曲线C的伸缩率,它与曲线C的形状及

8、方向无关.所以这种映射又具有伸缩率不变性.上式可视为92.保形映射的概念定义设函数w=f(z)在z0的邻域内是一对一的,在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是保形的,或称w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是保形的,就称w=f(z)是区域D内的保形映射.仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保形映射。例如是第二类保形映射。10几个初等函数所构成的保形映射1.幂函数w=zn(n2为自然数)在

9、z平面内处处可导,它的导数是因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处保形.映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍.11O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn12例1求w=z2把角形域0

10、后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为

11、f'(z0)

12、而与其形状和方向无关.15在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为

13、f'(z0)

14、,有一个角相等,则这两个