行列式的性质与计算讲解学习.ppt

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1、行列式的性质与计算行列式与它的转置行列式相等，即性质一、行列式的转置1.转置行列式的概念与特点2.性质及其意义行列式中的“行”与“列”具有同等的地位，意义因此凡是对“行”成立的性质对“列”也同样成立.比如，行列式D亦可依行展开，即P7性质1P8推论(跳过证明?)证明(利用数学归纳法证明)对1阶行列式，性质显然成立；假设对于阶行列式成立，则对于n阶行列式有同理即性质对于n阶行列式也成立。由归纳假设二、几个简单的性质性质(1)若行列式中某行(列)的元素全为零,则其值为零.(2)若行列式的某列(行)的元素都

2、是两数之和，行列式等于两个行列式之和，则该即P8P10性质4(2)交换第i,j两行(或列)的所有元素，(1)将第i行(或列)中所有的元素k倍，三、行列式的三个基本操作及其性质1.三个基本操作为了方便讨论，通常用ri表示第i行，ci表示第i列.(3)将第i行(或列)的各元素的k倍加到第j行(或列)(或).记作(或).记作对应的元素上，记作(或).补三、行列式的三个基本操作及其性质1.三个基本操作2.相应的三个性质将行列式的某一行(列)中所有的元素k倍，性质1证明只需将上式两边的行列式按第i行展开即可证明

3、.则行列式的值k倍，即P8性质2例形如试证：奇数阶反对称行列式等于0。的行列式称为反对称行列式。证故D=0。所以有由于n为奇数，例如交换行列式中的两行(列)，行列式的值反号.性质2P8性质3交换行列式中的两行(列)，行列式的值反号.性质2证明(利用数学归纳法证明)对于2阶行列式,结论显然成立；假设对于阶行列式结论成立，下证对于n阶行列式结论也成立。(注意此时)设是行列式D交换第i,j两行后得到的行列式，由于因此除第i,j两行外还有一个第k行。令和分别是行列式和D的第k行的代数由归纳假设有于是有余子式，

4、证明设行列式D的第i行与第j行的元素相同，如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则行列式推论1的值为零.即得将D的第i行与第j行的元素交换，由性质2有P9推论1证明若行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则行列式推论2的值为零.P10推论3即将行列式的某一列(行)的各元素k倍加到另一列(行)性质3对应的元素上，行列式的值不变，证明只需将上式右端行列式的第j列拆开即可证明.P11性质5?问??四、关于代数余子式的重要性质引例已知证明将行列式按第j行展开，有四、关于代数余子式的重要性质行列式任一行(列)

5、的元素与另一行(列)的对应元素的定理代数余子式乘积之和等于零，即把换成可得P9推论2同理相同四、关于代数余子式的重要性质综合其中例设解利用行列式的性质把行列式化为上三角形行列式。五、行列式的计算基本思路(2)交换两行(或列)；(1)某行(或列)k倍；基本操作(3)某行(或列)的k倍加到另一行(或列)。常用技巧(5)高化(低阶化为高阶)。(1)用某行(或列)去减其它行(或列)；(4)递归(高阶化为低阶)；(3)逐行(或列)相减；(2)所有行(或列)全部加到某一行(或列)上；例计算行列式解例注本例的方法适

6、合于计算机编程实现。例计算行列式解将第3,4列都加到第2列得例计算n阶行列式解将第2至n列都加到第1列得P13例7将第一行减到其它行例计算解逐行相减P12例5例计算行列式(采用“高化”方法)第一行的(-1)倍加到其它行解(1)当x=0或y=0时，D=0；(2)当时，注意“鸡爪”型行列式的处理例计算行列式解(采用“高化”方法)第一行分别乘第2,3,4行减到按第一行(列)展开按第一列展开解例计算进一步，由递推可得：本题可直接按最后一行展开。注例计算n阶行列式解逐行相减法一逐步递推法二b,c互换即得(A)(

7、B)由(A),(B)求解得(渐悟)(顿悟)按第1列展开解例计算n阶行列式P17例11考虑一个一般的两步递推式附：如何将两步递推转化为一步递推设则有即a,b是方程的两个根。比如，对于递推式有进一步可转化为证(用数学归纳法证明)例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式因此，当n=2时结论成立。P15例9证从Dn的最后一行开始，下面假设结论对n-1阶成立，要证结论对n阶也成立。的x1倍减到下一行，得由下而上，依次将上一行例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式P15例9按第1列展开，并把每列的公

8、因子提出，就有n-1阶范德蒙德行列式由归纳法假设，即得：解将D的第1行加到第3行得试用范德蒙行列式计算例3阶范德蒙德行列式行列式中行与列具有同等的地位，计算行列式的常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。小结从而得到行列式的值。解补充题1求设n阶行列式已知abcd=1，计算补充题2解1,2列3,4列2,3列交换提示：按第1列展开。答案：计算n阶行列式补充题3提示：各行(列)之和相等。答