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1、计算固体088.1微分方程的弱形式一般的科学和工程问题往往可以归结为在一定边界条件和初始条件下，求解微分方程式或微分方程组．微分方程式(组)可以是常微分方程或偏微分方程，可以是线性的或非线性的．加权余量法是一种直接从微分方程和边界条件出发进行求解的一种近似计算方法．在数学上,一般把微分方程的形式称为强形式(strongform)．在理论求解微分方程有困难时就借助于数值解．而在求数值解时,往往把微分方程和边界条件转换成变分形式(variationalform)或弱形式(weakform)．前面已经详细叙述了弹性力学问题的各种变分原理,
2、这里将介绍微分方程对应的弱形式．以第六章的稳态热传导方程为例说明它的弱形式．稳态热传导方程和边界条件为在域内在边界上在边界上式中为边界上的已知温度,为边界上的已知热流,,是有关边界上的外法线方向．为简单起见,这里只考虑第一类边界条件和第二类边界条件．由于微分方程是在域内任意一点都要满足的,所以下式成立其中是任意的函数．由上式可以看出,若此积分式对于任意的函数都能满足,则微分方程必然在域内任一点都得到满足．这个结论是很显然的,假使微分方程在域内的某些点或一部分支域中不满足,即在这些地方,则可以找到适当的函数,使上式的积分不等于零．因此
3、,上述的结论是正确的．同理,若边界条件在各自的边界上的任一点都得到满足,则对任意的函数应当满足综合以上三式可得上面第一式是对所有的函数均成立的,通常把它称为微分方程等效的积分形式或弱形式．上面后二式和前面的第一式则是在全部边界条件或部分边界条件预先满足下的弱形式．在上述讨论中,隐含地假定了式中的积分是能够进行计算的,这就对场函数和任意函数的选取有一定的限制,以免积分中出现无穷大的情况．在上面第一式中,是以函数自身的形式出现在积分中的,因此,对它们的选择只要是单值的,且分别在域内和边界和上可积的函数就可以了．这种限制并不影响上述微分方
4、程弱形式提法的有效性,场函数在积分中一般是以导数或偏导数的形式出现的,它的选择将取决于微分方程的最高阶次,本例是以二阶偏导数出现的．假如一个连续函数在方向有一个斜率不连续点,则在不连续点附近,函数的一阶导数是不定的,但一阶导数是可积的,即函数一阶导数的积分是存在的,但在不连续点附近,函数的二阶导数趋于无穷大,使它的积分不能进行．因此,在本例中,要求场函数的一阶导数是连续的,这时它的二阶导数在域内可以有不连续点,但在域内是可积的．一般而言,一个函数在域内函数本身(即它的零阶导数)直到它的阶导数连续,它的第阶导数具有有限个不连续点,但在
5、域内可积,则这个函数称之为具有连续性的函数,具有连续性的函数将使包含函数直至阶导数的积分成为可能．在本例中,要求函数具有阶连续性．现在用分部积分法将积分式化成另外的形式其中若,则上式可化为从上面两个积分式可以看出,通过分部积分后,场函数从二阶偏导数降为一阶偏导数,而任意函数则从零阶导数(即函数本身)变为一阶偏导数的形式出现,也就是说,对场函数的连续性要求降低了阶数,而这种降低是以提高对的连续性条件为代价的.由于原来对函数的连续性并无要求,所以适当提高对它们的连续性要求是可以做到的,因为它们是可以选择的已知函数.这种降低对场函数连续性
6、要求的做法在近似计算中是十分重要的.从形式上看,积分形式对场函数的连续性要求降低了,但对实际物理问题常常较原来的微分方程更逼近真实性,因为原来的微分方程往往对解提出了过分平滑的要求.微分方程等效的积分形式通常称为弱形式(weakform),在一些文献上也称为:积分提法(integralstatement),变分方程(variationalequation),伽辽金方程(Galerkinequation)和加权余量方程(weightedresidualequation).若在上式中设第一类边界条件是预先满足的,再令,则此式与第六章的变
7、分方程是相同的.在第十章中将介绍上述这两种弱形式在无网格法的应用.8.2加权余量法的计算过程加权余量法实际上就是基于上一节的弱形式的一种微分方程的近似解法．在求解域中,若场函数是精确解,在域中每一点都满足微分方程,同时,若场函数在边界和上的任意点都分别满足边界条件,此时,弱形式必然将得到严格满足．但是,对于复杂的实际问题,这样的精确解是很难找到的,因此,需要设法寻找具有一定精度的近似解．用加权余量法求微分方程的近似解时，首先是假设一组试函数(TrialFunction)作为微分方程的近似解．这个近似解有已确定的试函数项，也有待定的系
8、数或待定的函数．接着将这一组试函数代入微分方程和边界条件，一般不能满足微分方程和边界条件，这就出现了余量，于是在一定的域内按某种平均的意义将余量加以消除，这就组成了消除余量的方程组．在消除余量方程组中引入了一个权函数去乘余量，以体现按
