计算固体01-1讲课教案.ppt

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1、计算固体01-1(一)连续性假设弹性体是一种密实的连续介质，并在整个变形过程中保持其连续性．连续性假设有两层含义:(1)把物体抽象成一个形状和位置与其相同的，连续而密实的空间几何体，物体的统计物理性质以及位移、应变、应力、能量等物理量都作为空间点位置的函数定义在这个几何体上，这种抽象的数学模型称为连续介质．(2)物体在整个变形过程中始终保持连续，原来相邻的两个任意点，变形后仍是相邻点，不会出现开裂或重迭现象．用数学描述即为：定义在该连续介质上的物理性质和物理量，除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间断外，在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数．有了

2、这个假设就可利用高等数学中的微积分知识来处理连续介质问题．(二)弹性假设弹性体的变形与载荷在整个加卸载过程中存在一一对应的单值函数关系，且当载荷卸去后变形完全消失，弹性体恢复其初始的形状和尺寸．这里的单值函数关系可以是线性的或非线性的，取决于材料性质与变形大小．为了简化，进一步引进如下辅助假设：物体在不同点处的弹性性质处处相同．实际上，金属材料都可看作均匀的．对于混凝土、玻璃钢等非均质材料，如果不细究其不同组份交界面处的局部应力，可以采用在足够大的材料试件上测得的弹性常数来简化成均匀材料．但是有些新型材料例功能梯度材料是不能采用这个假设的．(三)均匀性

3、假设(四)自然状态假设假设物体不受外力作用和温度的影响，其中便没有应力和变形．即不考虑由制造工艺引起的残余应力和装配应力．在经典的弹性力学中还有各向同性假设．即材料是各向同性的，现在一些复合材料并不是各向同性的．所以就不必用各向同性这个假设了．弹性力学的基本方程弹性力学的理论是建立在几何方程、平衡方程、本构方程三组方程和边界条件的基础上．这里给出弹性体的几何方程、平衡方程、本构方程和边界条件．(1)几何方程－应变-位移关系应变张量分量和位移向量分量表示对独立坐标取偏导数采用张量标记时，重复下标表示在该下标的取值范围内求和，三维情况下取值范围为3，二维情

4、况取值范围为2．三维情况下的应变-位移关系为：应变协调方程是从应变位移关系中消去位移而得出的方程，这里列出如下：应变位移关系也可以用矩阵形式表示：应变列阵和位移列阵式中的为工程切应变，它们与张量切应变的关系为，微分算子(2)平衡方程应力张量分量和体力向量分量．矩阵形式表示应力列阵,体力列阵为的转置矩阵三维平衡方程可写为：(3)材料的应力-应变关系矩阵形式表示材料的应力-应变关系也称为本构方程,对于各向异性材料的本构方程为材料的本构矩阵本构矩阵是对称的,各向异性材料有21个材料常数．正交各向异性材料的本构矩阵这时材料常数为9个．各向同性材料的本构矩阵独立

5、的材料常数只有两个：弹性模量和泊松比．各向同性材料的材料常数弹性模量和泊松比剪切模量,体积模量拉梅(Lamé)常数材料常数之间的关系力的边界条件(在上)已知的外部作用力边界上外法线的方向余弦在位移边界上的边界条件给定的位移弹性体的全部边界弹性力学的变分原理随着工业技术的发展，工程结构的形状也越来越复杂，很多问题得不到分析解，因而求助于数值解．而变分原理则是许多数值解的基础.弹性力学问题，在数学上就是空间连续场的确定问题．变分法就是把它归结为一个泛函变分的极值问题或驻值问题．应变能和应变余能对于一个弹性体,它的应变能和应变余能定义为应变能应变余能应变能密

6、度应变余能密度二者关系对于弹性材料对于线弹性体，应变能密度和应变余能密度是相等的．对于非线性材料二者是不等的．此式表示和相对于全功而言是互余关系．二次函数关系可以表示为应变和应力的二次函数虚位移原理和最小势能原理凡是物体几何约束(例如,支承条件)所允许的位移就称为可能位移,取其任意微小的变化量就是虚位移,也就是几何上可能位移的变分．根据能量守恒定律，外力在虚位移上所做的功（虚功）必等于物体内部应力在虚应变上所做的功，这就是虚功原理或虚位移原理：式中左边第一项是体积力在虚位移上所做的功,第二项则是边界力在虚位移上所做的功，等号右边是应力在虚应变上所做的功

7、，也即应变能．其中虚应变由下式求得：经过推导后虚功原理可化为在内在上需使上式对一切可能的虚位移都成立,必须满足：所以是与外载相平衡的静力可能的应力场．对问题的精确解来说，满足虚功原理和满足平衡方程与力边界条件是等价的．如果仅在积分意义下满足虚功原理，而不能逐点满足平衡方程力边界条件,则为近似解．用虚位移原理直接求近似解的步骤是：(1)假设一个满足位移边界条件且连续的可能位移状态．在的表达式中含有若干可调整的待定位移参数作为基本未知量．(2)把代入几何方程和本构关系,求得用位移参数表示的变形可能应力的表达式．(3)把对各位移参数求变分得到相应的虚位移和虚

8、应变．(4)把,和代入虚位移原理,按各位移参数的变分并项．令各位移参数变分的系数分别等于零，得