非均匀有理b样条复习过程.ppt

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1、非均匀有理B样条样条的史话(1)1946年的红皮书Schoenberg拉开了神话的序幕从插值的R-K现象说起样条－分段连续多项式清华大学计算机图形学样条的史话(2)断言样条不可能用于外形设计几何样条出现，离散计算，峰回路转Riesenfield,Gordan,...清华大学计算机图形学如何理解B-样条？样条插值，三对角方程(函数、参数)给定分划，所有的B样条的全体组成一个线性空间，线性空间有基函数，这就是B样条基函数由B样条基函数代替Bezier曲线中的Bernstein基函数，即B样条曲线。清华大学计算机图形学3.3.1B样条的递推定义和性质B样条曲线的方程

2、定义为：是控制多边形的顶点(i=0,1,..,n)称为k阶（k-1次)B样条基函数B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。清华大学计算机图形学deBoor-Cox递推定义并约定几个问题清华大学计算机图形学几个问题的非零区间是什么？需要多少个节点？定义区间是什么？清华大学计算机图形学以k＝4，n=4为例清华大学计算机图形学2．性质局部支承性。权性。微分公式。清华大学计算机图形学B样条曲线类型的划分曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为

3、四种类型。清华大学计算机图形学均匀B样条曲线。节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。清华大学计算机图形学准均匀B样条与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解决了这个问题清华大学计算机图形学分段Bezier曲线节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。清华大学计算机图形

4、学B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且Bezier曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用。缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。清华大学计算机图形学非均匀B样条曲线任意分布的节点矢量，只要在数学上成立（节点序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。这样的节点矢量定义了非均匀B样条基。清华大学计算机图形学3.3.2B样条曲线的性质局部性。k阶B样条曲线上参数为的一点至多与k个控制顶点有关，与其它控制顶点无关；移动

5、该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。清华大学计算机图形学连续性P(t)在r重节点处的连续阶不低于k-1-r。凸包性P(t)在区间上的部分位于k个点的凸包内，整条曲线则位于各凸包的并集之内。清华大学计算机图形学分段参数多项式P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式导数公式清华大学计算机图形学变差缩减性设平面内n+1个控制顶点构成B样条曲线P(t)的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与P(t)的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。几何不变性B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。

6、清华大学计算机图形学仿射不变性即在仿射变换下，的表达式具有形式不变性。直线保持性控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线。清华大学计算机图形学造型的灵活性。用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况.对于四阶（三次）B样条曲线.若要在其中得到一条直线段，只要四点位于一条直线上清华大学计算机图形学为了使P(t)能过P(i)点，只要使重合尖点也可通过三重节点的方法得到为了使曲线和某一直线L相切，只要取位于L上及的重数不大于2。清华大学计算机图形学清华大学计算机图形学3.3.3deBoor算法欲计算B样条曲线上对应一点P(t)，可以利用B样条曲线方程，

7、但是采用deBoor算法，计算更加快捷。deBoor算法的导出清华大学计算机图形学现令则这就是著名的deBoor算法清华大学计算机图形学deBoor算法的递推关系如图清华大学计算机图形学DeBoor算法的几何意义deBoor算法有着直观的几何意义割角，即以线段割去角。从多边形开始，经过k-1层割角，最后得到P(t)上的点清华大学计算机图形学清华大学计算机图形学3.3.4节点插入算法通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可以实现对曲线的分割等。插入一个节点在定义域某个节点区间内插入一个节点t，得到新的节点矢量：重新编

8、号成为清华大学计算机图形学这个新的节点