第18讲导数的综合应用.ppt

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1、新课标高中一轮总复习第三单元导数及其应用第18讲导数的综合应用1.掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等.2.掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法.1.对任意实数x,若f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x>0时，f′(x)>0,g′(x)>0，则x<0时，有()BA.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0由已知,f(x)是

2、奇函数,g(x)是偶函数,又x>0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)在(-∞,0)上也是单调递增,即x<0时，f′(x)>0.同理，g(x)在(-∞,0)上单调递减，所以x<0时，g′(x)<0，故选B.2.已知函数y=f′(x)的图象如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中,y=f(x)的大致图象是()Ay=f′(x),由题图知，当x<-1时，y<0,所以f′(x)<0,所以f(x)递减;当-1＜x＜0时,y＞0,所以f′(x)>0,所

3、以f(x)递增;当0＜x＜1时,y＜0,所以f′(x)＜0,所以f(x)递减;当x＞1时，y＞0,所以f′(x)＞0,所以f(x)递增.故选A.3.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长分别是.R和R如图，设矩形的一边长为2x,则另一边长为(0＜x＜R),所以矩形的周长y=2(2x+),所以y′=2(2-)(0＜x＜R).令y′=0,得x=R,此时=R，易得x=R是y=2(2x+)的极大值点，即同时也是定义域上的最大值点.4.设点P是曲线y=x3-3x+上任意一点，P点处切线的倾斜角为α，则角

4、α的取值范围是.［0,)∪［,π)因为y′=3x2-3≥-3,所以tanα≥-3,所以α∈［0,)∪［,π).1.利用导数解决生活中的优化问题可归结为求函数的最值问题其解题的程序:读题(文字语言)建模(数学语言)求解(数学应用)反馈(检验作答)注意事项：(1)函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；(2)问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义；(3)在函数定义域内只有一个极值，则该极值就是所求的最大(小)值.

5、2.近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类(1)求参数的取值范围.多数给出单调性,利用导数研究函数单调性的逆向思维问题,灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法,建立关于字母参数的不等关系.(2)用导数方法证明不等式.其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论.(3)与几何图形相关的最值问题.根据几何知识建立函数关系，然后用导数方法求最值.题型一导数与三次函数的问题例1已知函数f(x)=x3-ax2-3x.（1）若f(x)在[1,+∞)上是增函数，求

6、实数a的取值范围；（2）若x=3是f(x)的极值点，当x∈[1,a]时，求f(x)的最大值和最小值.（1）可由y=f′(x)在[1,+∞)上f′(x)>0恒成立来确定含参不等式，利用等价转化求得a的取值范围.(1)f′(x)=3x2-2ax-3>0，在x∈[1,+∞)上恒成立，所以a<(x-).当x≥1时，y=(x-)是增函数，其最小值为×(1-1)=0.所以a<0，又a=0也合题意，所以a≤0.(2)依题意f′(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4.所以f(x)=x3-4x2-3x,则f′

7、(x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3),故f(x)有极大值点x=-，极小值点x=3.此时，f(x)在[-,3]上是减函数，在[3,+∞)上是增函数.所以f(x)在x∈[1,a]上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6（这里f(a)=f(4)=-12

8、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围.解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究.题型二利用导数证明不等式例2已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0).第（1）问由函数f(x)与g(x)在公共点(x0,y0)处的切线相同，建立关于b的函数关系式，然