分类例析“折线距离”问题的解题策略

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1、高中数学教与学2015年分类例析“折线距离”问题酌禳题策略殷伟康谢建强(江苏省常熟市浒浦高级中学，215512)近几年各地高考与高考模拟试题中频频系．出现“折线距离”(即曼哈顿距离)相关问题，不妨设(一c，0)，(c，0)，P(，)，)，c>如2014年高考数学福建卷(文科)第12题．这0．类问题题型新颖，因而备受命题者的青睐．本由题意I+cI+I一cI+2lYl=2a(2a文对“折线距离”问题进行归类剖析，并探究为定值，且2a>2c)．其解题策略．当≤一c时，方程化为一2+2IYI=一、“折线距离”的几何图形问题2L一：一口Iy

2、J’例1(2014年福建高考题)在平面直角．坐标系中，两点P(。，Y。)，P(，Y2)间的“当≥c时，方程化为2+2IYI=2a，即一距离”定义为lIPlP2lJ=Il—2{+I)，l一r一+lTI,(Y≥0)，)，2l，则平面内与轴上两个不同的定点F，=i一口(y<0)．的“一距离”之和等于定值(大于lFI)当一c<

3、一为F。(t，0)，F2(2，0)，不妨设l<2．由定(A)(B)义的“￡一距离”可知llPF。ll+llPII=l—Il+I一2I+2lyl=m，，l_Km为定值．首先，当不变时，发现所求点的轨迹不／＼一。一可能垂直轴，故排除曰，D；其次，当。≤≤：2时，I一II+l—2I=2一l为定值，此时：一。+2IYI=m表示两条垂直，，轴的直线，故排除C，所以选A．分析本题是以椭圆的定义为载体，引例2在平面直角坐标系中，定义：d(P，入“L一距离”(即折线距离)的概念，探究在Q)=I，一*2I+lYl—Y2I为两点P(xI，YI)，新情境下

4、“椭圆”生成的几何图形及其特征，Q(：，Y2)之间的“折线距离”．在这个定义下，考查考生的阅读、理解概念的能力；探求“轨给出下列命题：迹”的基本研究方法，图形分析能力和抽象概①到原点的“折线距离”等于1的点的集括能力．合是一个正方形；解法1以线段的中点为坐标原②到原点的“折线距离”等于1的点的集点，所在直线为轴，建立平面直角坐标合是一个圆；．22。第J期高中数学教与学③到M(一1，0)，N(1，0)两点的“折线距取最小值时点M的坐标是——．离”之和为4的点的集合是面积为6的六边解法1依题意，可设M(2y一2，Y)，则形；d(B，M)=

5、I2y一3I+IYI④到M(一1，0)，N(1，0)两点的“折线距"3y一3(≥寻)，离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是一(写出所有正3一y(o

6、1图2所以使d(B，)取最小值时点M的坐标，是(1，丢)。解法2(几何法)如图4，过点B作轴一0，一l1：的垂线，交直线一2y+2=0于点M．下面证明点M即为所求的点．在直线上任取一点Ⅳ(不同于点M)，过点图3Ⅳ作NA垂直BM于点A．由于直线的斜率为③设点的坐标为(，Y)，根据定义，有I+lI+I一1I+2IYl=4，整理得IYI=2一÷，因此d(B，Ⅳ)：NA+AB>MA+AB=上，画出其图像是图2所示的MB，所以(1，丢)即为所求的点．二六边形，面积为6．故③正确．④设点的坐标为(，，，)，根据定义，有IJ／}N／一————一_4

7、+1I—I一1ll=1，解得：±÷，这是两二／，(=}条竖直直线，如图3所示．故④正确．综上所述，正确的命题是①③④．图4评注此题命题①②③④不难推广至例4在平面直角坐标系xOy中，0为坐一般形式，读者不妨一试．标原点．定义p(x，Y．)、Q(：，Y。)两点之问的二、“折线距离”的最值问题“直角距离”为d(P，Q)=l，一l+例3在平面直角坐标系xOy中，设点IY一Y2f．若点A(一I，3)，贝Ⅱd(A．0)=P(，，Y，)、Q(：，Y2)，定义：d(P，Q)=II—2l+IYl—Y2I．已知点B(1，0)，点M⋯一；已知点B(1，0

8、)，点是直线kx—Y+k+3=O(k>0)上的动点，d(B，M)的最小值为直线一2y+2=01z的动点，则使d(B，M)·23·高中数学教与学2015玺为一P(A，B)=f2一lI+IY2一Y1I．‘(I)若点C(，Y)