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1、椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:椭圆的第一定义在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M时，椭圆即为点集注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。注：定义中的定点不在定直线上。
如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X轴上，准线方程是：焦点放在Y轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x轴上
4、椭圆的标准方程:，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)【知识点3】椭圆的几何性质:标准方程图形性质范围对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距∣F1F2
5、=2c离心率e=∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2规律:(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴
6、端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(3)在椭圆中，离心率(4)椭圆的离心率e越接近１椭圆越扁；e越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是＋＝1.2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝
7、.∴椭圆的标准方程为＋＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.四、求椭圆的离心率问题。例1一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
8、解：∴，∴．例2已知椭圆的离心率，求的值．解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或．双曲线知识点【知识点1】双曲线的概念:在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于
9、F1F2
10、)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M时，椭圆即为点集注意：若，则动点的轨迹为两条射线；若，则动点的轨迹无图形。【知识点2】双曲线的标准方程焦点在x轴上双曲线的标准方程:，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)【知识点3
11、】双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图 形性 质范 围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长
12、A1A2
13、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
14、B1B2
15、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)规律:1.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双
16、曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2.区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．(3)在双曲线中，离心率(4)双曲线的离心率e越大,开口越阔.双曲线典型例题一、根据双曲线的定义求其标准方程。例 已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．∵，∴∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．例 是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．解：在
