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1、王进明初等数论习题及作业解答1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.解：b=30,被除数a=12b+26=360+26=386.这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍”问题。2．证明：(1) 当n∈Z且时，r只可能是0,1,8;证：把n按被9除的余数分类，即：若n=3k,k∈Z，则,r=0；若n=3k+1,k∈Z，则,r=1；若n=3k－1,k∈Z，则,r=8.(2)当n∈Z时，的值是整数。证 因为=，只需证明分子是6的倍数。=.由k! 必整除k个连续整数知：6,6
2、.或证：2!
3、,必为偶数.故只需证3
4、.若3
5、n,显然3
6、；若
7、n为3k+1,k∈Z，则n－1是3的倍数，得知为3的倍数；若n为3k－1,k∈Z，则2n－1=2(3k－1)－1=6k-3,2n－1是3的倍数.综上所述，必是6的倍数,故命题得证。(3) 若n为非负整数，则133
8、(11n+2+122n+1)．证明：利用11n+2+122n+1=121×11n+12×144n=133×11n+12×(144n－11n)及例5的结论．(4)当m，n，l∈N+时，的值总是整数证明：=由k!必整除k个连续整数知：,n!
9、，从而由和的整除性即证得命题。(5)当a，b∈Z且a≠－b，n是双数时，；(6)当a，b∈Z且a≠－b，n是单数时，．解：利用例5结论：若a≠
10、b，则．令b=－b*,即得。或解： a=(a+b)－b，(5) 当n为双数时，由二项式展开，证得。(6)当n为单数时类似可得。3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈Z,且，说明这六个数不能都是奇数．解：若这六个数都是奇数，设，则，因为，所以8
11、4,, 而，，，即等式左边被8除余5, 而右边被8除余1,故不可能这六个数都是奇数。4．能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出一种填法，否则，说明理由。1□2□3□4□5□6□7□8□9=10不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等式右边10为偶数。或解：无论各□内填入加号或减号，1□2□3□4□5□6□7□
12、8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。5．已知：a，b，c均为奇数．证明无有理根。证：若有有理根，记为互质，代入方程有即，这是不可能的，因为p,q互质，二者不可能同时为偶数。若p为偶数，则为偶数，但是奇数，它们的和不可能为0;若q为偶数，则为偶数，但是奇数，它们的和也不可能为0。6．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写的三个数能否是2，4，6?解：不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次
13、操作后剩下的三个数是两偶一奇．7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数A＝1234567891011…979899，求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?解：由数的整除特征，2和5看末位，∴A除以2余1，A除以5余4；4和25看末两位，∴A除以4余3，A除以25余24；8和125看末三位，∴A除以8余3，且除以125余24；3和9看各位数字的和，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，A所有数字的和等于450,∴A除以3和9都余0，A除以11的余数利用定理1.4,计算奇数位数字之和－A的偶数位数字之和．奇数位数字之和1+3+5+7+9+(0+
14、1+…+9)×9，偶数位数字之和2+4+6+8+(1+2+…+9)×10，两者之差为－40，原数除以11的余数就是－40除以11的余数：4.8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样的四位数．解：同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：7020，7320，7620，7920．9．从5,6,7,8,9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3,5,7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？被5整除，个位必为5.5+6+7+8=26,5+6+7+9=27,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选出的四个不同的数字是5,6,7,9,但
15、不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,从最大的开始试除，得9765=7×1395，那么要求的就是9765了。10．11．1至1001各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数，要使9个数的和等于(1)2001，(2)2529，(3)1989，能否办到?如能办到，写出框里的最小数与最大数．如办不到，说明理由．解：设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x.(1)9不能整除20
