量子力学期末考试题及解答.doc

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1、一、波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;解答：由波函数的概率波解释可知，当已经归一化时，坐标的取值概率密度为（1）将上式的两端分别对时间求偏微商，得到（2）若位势为实数，即，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式（3）（4）将上述两式代入（2）式，得到（5）若令（6）有（7）此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。2.若线性谐振子处于第一激发态求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数。解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知（1）利用积分公示（2）可以得到归一

2、化常数为（3）坐标的取值概率密度为（4）由坐标概率密度取极值的条件（5）知有五个极值点，它们分别是（6）为了确定极大值，需要计算的二阶导数（7）于是有取极小值（8）取极小值（9）取极大值（10）最后得到坐标概率密度的最大值为（11）3.半壁无限高势垒的位势为求粒子能量在范围内的解。解答：按位势的不同将求解区间分为三个，分别记为I、II和III。在三个区域中，满足有限性要求的波函数分别为（1）其中（2）（3）由处的连接条件（4）知（5）即要求（6）于是（7）再由处的连接条件（8）得到（9）由上式可得（10）此即能

3、量本征值满足的超越方程。该方程只能用数值法求解或用图解法求解。由于余切为负值，所以角度在第2或第4象限。若令（11）则式（10）可以写成（12）若用作图法求解上式，则其解是曲线（13）与（14）在第2或第4象限的交点。4.带电线性谐振子受到一个方向均匀电场的作用，求其能级。设该线性谐振子的质量为、电荷为、角频率为。解答：在均匀电场作用下，带电谐振子的哈密顿算符为（1）设哈密顿算符满足本证方程（2）利用配方的方法改写其势能项为（3）若令（4）（5）则定态薛定谔方程可以写为（6）此即正常的线性谐振子的能量本证方程，

4、它的解为(7)利用式（4）、（5）可以得到电场中线谐振子的本证解为（8）（9）5.已知做一维运动的粒子处于束缚定态求粒子的能量及所处的位势。其中，为归一化常数，。解答：将一维束缚定态薛定谔方程（1）改写为（2）利用已知的波函数，计算它的一阶导数（3）进而求出的二阶导数（4）将上式代入式（2）,得到（5）若取处的位势为零，则能量本征值为（6）将上式代入（5）式，立即得到位势的形式（7）6.设质量为的粒子处于一维势阱之中式中，。若粒子具有一个的本征态，试确定此势阱的宽度。解答：对于的情况，三个区域中的波函数分别为（

5、1）式中，（2）利用波函数在处的连接条件知，。取，于是（3）在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件（4）得到（5）于是有（6）此即能量满足的超越方程。当时，由于（7）故（8）最后，得到势阱的宽度为（9）7.设粒子处于如下势场若，，求在处的反射系数和透射系数。解答：具有能量的粒子由左方入射，在两个区域中的波函数分别为（1）（2）式中（3）利用波函数在处的连接条件，得到；（4）将、用来表示，则有；（5）于是反射系数与透射系数分别为；（6）把式（3）代入式（6）得到反射系数为(7)进而可得透射系数为(8)当时，有（9

6、）8.质量为m的粒子处于一维位势中，写出其能量本征值时满足的方程。9.设质量为m的粒子处于一维势阱之中若已知该粒子在此阱中存在一个能量为态，试确定此势阱的宽度。解答：三个区域中的波函数分别为（1）式中，（2）利用波函数在处的连接条件知，。取，于是（3）在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件（4）得到（5）于是有（6）此即能量满足的超越方程。10.有一个粒子沿轴方向运动其波函数为，试求：（1）将此波函数归一化；（2）求出粒子按坐标的概率密度分布函数；（3）问在何处找到粒子的概率最大？为多少？解答：（1）的共轭复数

7、为利用归一化条件得到归一化后的波函数为（2）粒子的概率密度为其中，，得到（1）概率最大时：11.一个质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动。求粒子在阱内外的能量本征值和本征函数。一、力学量的算符表示1.计算对易子解答：对于任意的波函数，有由于是一个任意的波函数，所以2.计算对易子解答：对于任意的波函数，有由于是一个任意的波函数，所以3.计算对易子解答：对于任意的波函数，有由于是一个任意的波函数，所以4.定义轨道角动量算符，计算，其中解答：利用对易子代数的运算规则，有5.定义轨道角动量算符，计算，其中解答：利用对易

8、子代数的运算规则，有=6.定义轨道角动量算符，计算，其中解答：利用对易子代数的运算规则，有7.证明算符是厄密算符。证明：因为与不对易，与都不是厄密算符，所以不能直接判断算符的厄密性质，但是因为是厄密算符，所以也是厄密算符。8.证明算符是厄密算符。证明：利用与的厄密性质及，得到显然，是自共轭算符，所以它是厄密算符。9.证明厄密算符的本征值是实数。证明：利用厄密算符的定义，取任意状态，有所