离散数学 第十章+群与环教程文件.ppt

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1、离散数学第十章+群与环半群、独异点与群的定义定义10.1(1)设V=是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.(2)设V=是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.(3)设V=是独异点，eS关于∘运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群.通常将群记作G.2实例例1,,,,都是半群，+是普通加法.这些半群中除外都是独异点3例2设G={e,a,b,c}

2、，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群eabceabceabcaecbbceacbae实例特征：1.满足交换律2.每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素4有关群的术语定义10.2(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群.群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作

3、G

4、.(2)只含单位元的群称为平凡群.(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.实例：和是无限群，是有限群，也是n阶群.Klein四元群

5、是4阶群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.5定义10.3设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂.群中元素的幂群中元素可以定义负整数次幂.在中有23=(21)3=13=111=0在中有(2)3=23=2+2+2=66元素的阶定义10.4设G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整数k称为a的阶，记作

6、a

7、=k，称a为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元.例如，在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5

8、是6阶元，0是1阶元.在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.7群的性质：幂运算规则定理10.1设G为群，则G中的幂运算满足：(1)a∈G，(a1)1=a(2)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G为交换群，则(ab)n=anbn.证(1)(a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元.根据逆元唯一性，等式得证.(2)(b1a1)(ab)=b1(a1a)b=b1b=e,同理(ab)(b1a1)=e，故b

9、1a1是ab的逆元.根据逆元的唯一性等式得证.8群的性质：方程存在惟一解定理10.2G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.例3设群G=，其中为对称差.解下列群方程：{a}X=，Y{a,b}={b}解X={a}1={a}={a}，Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}证a1b代入方程左边的x得a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.下面证明惟一性.假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c=ec=

10、(a1a)c=a1(ac)=a1b同理可证ba1是方程ya=b的惟一解.9群的性质：消去律定理10.3G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G有(1)若ab=ac，则b=c.(2)若ba=ca，则b=c.证明略1010.2子群与群的陪集分解定义10.5设G是群，H是G的非空子集，(1)如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群,记作H≤G.(2)若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H的子群.当n≠1时,nZ是Z的真子群.对任何群G都存在子群.G和{e}都是

11、G的子群，称为G的平凡子群.11子群判定定理1定理10.5（判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1)a,b∈H有ab∈H(2)a∈H有a1∈H.12子群判定定理2定理10.6（判定定理二）设G为群，H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab1∈H.13典型子群的实例:生成子群定义10.6设G为群，a∈G，令H={ak

12、k∈Z}，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作.实例：例如整数加群，由2生成的子群是<2>={2k

13、k∈Z}=2Z中，由2生成的子群<2>={0,2,

14、4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：={e},={e,a},={e,b},={e,c}.14陪集定义与实例定义10.9设H是G的子群，a∈G.令