排列组合公式推导说课讲解.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流1公吨=1t=1000kg密度单位g/cm3Proe密度单位公吨/mm31公吨/mm3=1000kg/(cm3×10-3)=109g/cm31g/cm3=10-9公吨/mm3排列和组合基本公式的推导，定义在本节中，笔者将介绍「排列」(Permutation)和「组合」(Combination)的基本概念和两个基本公式。请注意 「点算组合学」中的很多概念都可以从不同角度解释为日常生活中的不同事例，因此笔者亦会引导读者从不同 角度理解「排列」和「组合」的意义。  先从「排列」开始。「

2、排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相 异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些 物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全 部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n个程 序：第一个程

3、序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字 。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定 了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时， 由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。 如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的 ，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×

4、(n-1)×(n-2)×... 2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n阶乘」(n-factorial)。  例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。  答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。  当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来 排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」仅供学习与交

5、流，如有侵权请联系网站删除谢谢6精品好文档，推荐学习交流问题。我们可以把「部分排列」问题理解成 抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再 放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」 问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程 序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在 可供

6、选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已 选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第r个程 序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。最后，运用「乘法原 理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。  我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结 合律。举一个简单的例子，由於5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 

7、= 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由於5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4 × (3 × 2 × 1)，我们又可得5! = 5 × 4 × 3!。抽象地看，我们 可以把n!改写为n×(n-1)!，也可以改写为n×(n-1)×(n-2)!照此类推，我们可以把n!改写为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)×(n-r)!。由此得n! / (n-r)! = n ×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。在「点算组合学」上，一般把上述「部分排列」的 解

8、记为P(n, r)。至此我们求得「排列」问题的一条基本公式：P(n, r) = n!/(n-r)!例题2：从1至4这4个数字中抽2个出来排序，共有多少种排法？试列出所有排法。  答2：共有P(4, 2) = 4! / 2! = (4 × 3 × 2!) / 2! = 4 × 3 = 12种排法。这 12种排法是1-2；1-3；1-4；2-1；2-3；2-4；3-1；3-2；3-4；4-1；4-2；4-3。  请注意只要我们