曲线过定点问题解题策略

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1、中学数学杂志２０１４年第１１期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ曲线过定点问题解题策略河南省濮阳市第一高级中学４５７０００梁文强近几年，高考试卷中圆锥曲线压轴题经常出现曲ｙ′ｙ０２设ＡＱ与ｌ交于点Ｓ′（４，ｙ′），由＝，得２００线过定点问题，由于在解题之前不知道所过的定点，因４－２ｘ－２１而对解题增添了一定的难度，怎样破解曲线过定点问２ｙ２ｙ′＝．０题？下面通过具体的例子，介绍此类问题的求解策略．ｘ－２２１直线过定点问题６ｙ２ｙ１２因为ｙ－ｙ′＝－＝００１．１特殊探路，一般证明ｘ＋２ｘ－２１２３６ｙ１（ｍｙ２－１）－２ｙ２（ｍｙ１＋３）

2、例１已知椭圆Ｃ的离心率ｅ＝，长轴的左、右＝２（ｘ＋２）（ｘ－２）１２端点分别为Ａ（－２，０），Ａ（２，０）．－１２ｍ－１２ｍ１２－４ｍｙｙ－６（ｙ＋ｙ）ｍ２＋４ｍ２＋４（１）求椭圆Ｃ的方程；１２１２＝＝０，所以（２）设直线ｘ＝ｍｙ＋１与椭圆Ｃ交于Ｐ，Ｑ两点，直（ｘ１＋２）（ｘ２－２）（ｘ１＋２）（ｘ２－２）ｙ＝ｙ′，即Ｓ与Ｓ′重合，线ＡＰ与ＡＱ交于点Ｓ，试问：当ｍ变化时，点Ｓ是否恒００００１２在一条直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你这说明，当ｍ变化时，点Ｓ恒在定直线ｘ＝４上．的结论；若不是，请说明理由．评注我们要善于在动点的变中寻求

3、不变性，此ｘ２题使用特殊点证得Ｓ在某直线上，再证明一般情况也２解析（１）椭圆Ｃ的方程为＋ｙ＝１．４成立．（２）由题意可设直线ｌ的方程为：ｘ＝ｍｙ＋１．１．２三点共线证明直线过定点２２ｘｙ３３例２在平面直角坐标系ｘＯｙ中，椭圆Ｃ：＋①取ｍ＝０得Ｐ（１，），Ｑ（１，－），直线ＡＰ的２２２２１ａｂａａ３３３＝１（ａ＞ｂ＞０）过点Ａ（，）和点Ｂ（３，１）．方程为ｙ＝ｘ＋；直线Ａ２Ｑ的方程为ｙ＝ｘ－３，２２６３２（１）求椭圆Ｃ的方程；３３交点坐标为Ｓ１（４，３）．Ｐ（１，－），Ｑ（１，），由对称（２）已知点Ｐ（ｘ０，ｙ０）在椭圆Ｃ上，Ｆ为椭圆的左焦２

4、２点，直线ｌ的方程为ｘｘ＋３ｙｙ－６＝０，００性可知交点坐标Ｓ（４，３）．若点Ｓ在同一条直线上，则２①求证：直线ｌ与椭圆Ｃ有唯一的公共点；直线只能是ｘ＝４．②若点Ｆ关于直线ｌ的对称点为Ｑ，求证：当点Ｐ②以下证明对任意ｍ，直线ＡＰ与直线ＡＱ的交点１２在椭圆Ｃ上运动时，直线ＰＱ恒过定点，并求此定点的Ｓ均在ｘ＝４上，事实上坐标．２ｘ２２２＋ｙ＝１，ｘｙ由４得（ｍｙ＋１）２＋４ｙ２＝４，解析（１）椭圆方程为＋＝１．{６２ｘ＝ｍｙ＋１，（２）①直线ｌ与椭圆相切．２２即（ｍ＋４）ｙ＋２ｍｙ－３＝０，②因为Ｆ（－２，０），所以过点Ｆ且与直线ｌ垂直的－２ｍ

5、记Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１＋ｙ２＝，ｙ１ｙ２＝直线方程为３ｙ０ｘ－ｘ０ｙ＋６ｙ０＝０．２ｍ＋４３ｙｘ－ｘｙ＋６ｙ＝０，０００－３由{．ｘｘ＋３ｙｙ－６＝０，２００ｍ＋４２ｙｙìï６ｘ０－１８ｙ００１ｘ＝，设ＡＰ与ｌ交于点Ｓ（４，ｙ），由＝，得ｙïï２２１０００ｘ＋９ｙ４＋２ｘ＋２００１得í６ｙï１８ｙ０＋６ｘ０ｙ０１ｙ＝，＝．ïï２＋９ｙ２ｘ１＋２îｘ００３３ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志２０１４年第１１期２２ｘｙ４２２因为Ｐ（ｘ，ｙ）在＋＝１上，所以３ｙ＝６－ｘ，交曲线Ｃ于Ａ，Ｂ两点，所以ｘ＋ｘ＝２＋

6、，００００１２２６２ｋìï３ｘ０－６４ｘ＝，ｙ１＋ｙ２＝ｋ（ｘ１＋ｘ２－２）＝，ïï３－ｘｋ０故有í３ｙ２２ï０所以点Ｐ的坐标为（１＋，）．ｙ＝．２ｋï３－ｘｋî０１所以点Ｆ（－２，０）关于直线ｌ的对称点为由题意知，直线ｌ的斜率为－，同理可得点Ｑ的２ｋ４ｘ－６６ｙ００２Ｑ（，）．设椭圆右焦点为Ｆ′（２，０），坐标为（１＋２ｋ，－２ｋ），３－ｘ３－ｘ００２２４ｘ０－６２６ｙ０２当ｋ≠±１时，有１＋２≠１＋２ｋ，此时直线ＰＱ的ＱＦ′＝（－２）＋（）＝ｋ３－ｘ３－ｘ００斜率为４ｘ－１２６ｙ０２０２２（）＋（）．＋２ｋ３－ｘ０３－ｘ０ｋｋｋ＝＝．２

7、２ＰＱ２将３ｙ０＝６－ｘ０代入化简得２２１－ｋ１＋－１－２ｋ２２ｋ６ｘ－１２７２－１２ｘ０２０ＱＦ′＝（）＋２＝ｋ３－ｘ０（３－ｘ０）所以，直线ＰＱ的方程为ｙ＋２ｋ＝（ｘ－１－２１－ｋ２２４（３－ｘ０）２＝２６．２ｋ），２（３－ｘ０）２＋（ｘ－３）ｋ－ｙ＝０，即ｋ（ｘ－３）＋（ｋ２整理得ｙｋ又因为点Ｆ关于直线ｌ的对称点为Ｑ，所以ＰＦ＝－１）ｙ＝０，ＰＱ，根据椭圆定义可知ｘ－３＝０，ＰＦ＋ＰＦ′＝２６，所以ＰＱ＋ＰＦ′＝２６由ｋ的任意性，可知{ｙ＝０．所以Ｑ、Ｐ、Ｆ′三点共线，那么，直线ＰＱ恒过定点于是直线ＰＱ恒过定点Ｅ（３，０）．（２，０）

8、．当ｋ＝±１时，直线ＰＱ的方程为ｘ＝３，也过点Ｅ（３，评注由图像，根据圆锥曲线光学性质，猜出直０），线ＰＱ过右焦点，接下来通过ＰＱ＋ＰＦ′＝ＱＦ′来证明Ｐ、综上所述，直线ＰＱ恒过