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1、需要哈工大机械考研资料的请加QQ:1415908174或者加哈工大机械考研总群201923570。高数答案(下)习题册答案第六版下册第八章多元函数的微分法及其应用§1多元函数概念一、设f(x,y)=x2+y2,j(x,y)=x2-y2,求:f[j(x,y),y2].答案：f(j(x,y),y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4二、求下列函数的定义域：1、f(x,y)=x2(1-y){(x,y)
2、y2+x2¹1};1-x2-y22、z=arcsiny{(x,y)
3、y£x,x¹0};x三、求下列极限：1、limx2siny（0）x2+y2(x,y)®(0,0)2、lim(1+y
4、)3x(e6)(x,y)®(¥,2)x四、证明极限limx2y不存在.x4+y2(x,y)®(0,0)证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y=x2趋于（0，0）时，极限为1,2二者不相等，所以极限不存在ì1五、证明函数f(x,y)=ïxysin,(x,y)¹(0,0)íx2+y2在整个xoy面上连续。ï0,(x,y)=(0,0)î证明：当(x,y)¹(0,0)时，f(x,y)为初等函数，连续。当(x,y)=(0,0)时，limxysin1=0=f(0,0)，所以函数在（0，0）也连续。所以函数(x,y)®(0,0)x2+y2在整个xoy面上连续。六、设z=x+y2+f(x+y)
5、解：f(x)=x2-x，z且当y=0时z=x2，求f(x)及z的表达式.=x2+2y2+2xy-y§2偏导数1、设z=xy+xey,验证x¶z+y¶z=xy+zx¶x¶y需要哈工大机械考研资料的请加QQ:1415908174或者加哈工大机械考研总群201923570。¶zyyy¶zy¶z¶zy证明：=y+ex-ex,=x+ex，x+y=xy+xy+xex=xy+z¶x¶y¶x¶yxì22ïz=x+y132、求空间曲线G:íy=1在点（,,1）处切线与22ï2î3、设f(x,y)=xy+(y-1)2arcsinx,求fx(x,1)yz¶u¶u¶u4、设u=xy,求，，¶x¶y¶zy轴正向
6、夹角(p4)(1)¶uzz¶uzz¶u1z-1解：=xy，=-xylnx=xylnx¶xy¶yy2¶zy¶2u¶2u¶2u25、设u=x2+y2+z2，证明:++=¶x2¶y2¶z2u6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由ì122ïxsin,x+y¹0x2+y2f(x,y)=íïx2+y2¹0î0,limf(x,y)=0=f(0,0)连续；fx(0,0)=limsin1不存在，fy(0,0)=lim0-0=0x2y-0x®0x®0y®0y®07、设函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求limf(a+x,b)-f(a-x,b)xx®0（2fx(a,b)）
7、§3全微分1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________(A)必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）z=eydz=eyydx+1dy)xx(-x2x2）z=sin(xy2)解：dz=cos(xy2)(y2dx+2xydy)需要哈工大机械考研资料的请加QQ
8、:1415908174或者加哈工大机械考研总群201923570。yyy-1dx+1yyy3）u=xz解：du=xzxzlnxdy-xzlnxdzz2zz3、设z=ycos(x-2y)，求dz(0,p)4解：dz=-ysin(x-2y)dx+(cos(x-2y)+2ysin(x-2y))dydz
9、(0,p4)=p4dx-p2dy4、设f(x,y,z)=z求：df(1,2,1)1(-2dx-4dy+5dz)x2+y225ì1(x2+y2)sin,(x,y)¹(0,0)ïx2+y2在（0，0）点处5、讨论函数f(x,y)=íï0,(x,y)=(0,0)î的连续性、偏导数、可微性解：lim(x2
10、+y2)sin1=0=f(0,0)所以f(x,y)在（0，0）点处连续。(x,y)®(0,0)x2+y2fx(0,0)=limf(Dx,0)-f(0,0)=0,fy(0,0)=limf(0,Dy)-f(0,0)=0(x,y)®(0,0)Dx(x,y)®(0,0)Dyf(Dx,Dy)-0®0，所以可微。(Dx)2+(Dy)2§4dz多元复合函数的求导法则1、设z=uv,u=sint,v=et，求dtdz解：=c
