基本波动方程的求解方法

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1、关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题<达朗贝尔公式>在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为由达郎贝尔公式，解在点的值由初始条件在区间内的值决定，称区间为点的依赖区域，在平面上，它可看作是过点，斜率分别为的两条直线在轴上截得的区间。2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题令，可将此定解分解成下面两个定解问题：5(I)(II)其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：。

2、对于问题(II)，有下面重要的定理。定理（齐次化原理）设是柯西问题的解，则是问题(II)的解。二、有界的弦振动方程1、分离变量法齐次条件的分离变量法（1）（2）（3）设，代入方程（1）得：5上式右端不含，左端不含，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为，则有：　　　（4）　　　（5）所齐次边界条件可得：　　　（6）从而特征值问题:对的取值分三种情况，进行讨论。这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。非齐次

3、条件分离变量法分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如：5设，通过适当选取使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使满足：，即可。小结：分离变量法的解题步骤a，令b，将试探解带入泛定方程。c，将等式两边同时乘以，进行分离变量，获得两个常微分方程。d，由边界条件，将方程解出需要讨论本征

4、值（，）三种情况，获得本正值和本征函数。e，写出解的形式后与一起构成通解形式。f，由初始条件确定待定系数。三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法傅里叶级数解法设（4），其中构造让其满足（2）则：5所以对有：令（9）式带回到（6）式解出：整理出与构成的解，再带回到（3）是求出待定系数。小结：一般傅里叶级数的求解步骤1、令，其中展开基为对应齐次函数本征函数（由边界条件决定）2、将带入泛定方程后，将也按展为傅里叶级数，比较等式两边，获得的常微分方程。3、将带入初始条件，得到关于方程的定解条件。4、解关于的常微分方程。5、将解的通解形式带

5、回到中即可。（此时即为方程的解）5