波动方程求解

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1、关于弦振动波动方程的求解方法一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题u（x,t）=—［（p（x+at）+0（兀-at）］+—「”0（$v达朗贝尔公式＞22aJ"在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为d2u乔U1=0d2u左'—oo=0（兀）,単

2、心）=0（兀）ot由达郎贝尔公式，解在点（尢丿）的值由初始条件在区间［x-at.x+at］内的值决定,称区间［x-at,x+at］为点CM）的依赖区域，在兀一r平面上,它可看作是过点CM）,斜率分别土丄为的两条直

3、线在*轴上截得的区间。a2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题—OO0d2U2萨M诉+wx=o=0（兀）'警!/=（）=0（兀）令二5尢,/）+卩（兀,/）,可将此定解分解成下面两个定解问题:—8v兀v+汽/>0d2U2几W=Cl亦弘1口=久兀），孑山=0（兀）ut(II)d2u9d2u丽F乔+/(兀,/),匸o=°—8VXV+8,/>0其中问题（I）的解可由达朗贝尔公式给出:11rx^atU（x,t）=—［（p（x+at）+（p{x-at）］+一（p（g）dg。22aJe对于问题（II）,有下面重要的定理。定理（齐次化原理）设。（兀,卩）是柯西问题d2

4、a)a23.e=0,^

5、/=r=/(X,T)的解(r>0),贝0V(x,t)=£co(x.t,T)dt是问题(II)的解。二、有界的弦振动方程1、分离变量法齐次条件的分离变量法d2U2Au00w(0,r)=n(/,0=0(1)(2)U1匸0=0（兀），绚luo=0（兀）(3)设呛,r）=X（兀）“/）,代入方程（1）得:X(x)=T(r)X(x)-aT(t)上式右端不含X,左端不含/,所以只有当两端均为常数吋才能相等。令此常数为-八则有：X"(x)+2X(兀)=0(4)T'(r)+tz2/lT(r)=0(5)所齐次边界条件可得：X(0)=0,X'(/)+/?X(/)=0(6)从

6、而特征值问题：JX(x)+/lX(x)=0[X(O)=O,X(/)+72X(/)=O对A的取值分三种情况A>0,A=0,A<0进行讨论。这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。非齐次条件分离变量法分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次，如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次吋，必须设法将边界条件

7、化成齐次的。如：讥0,0=小⑴川⑷)=直⑴w(x,0)=0(兀)妁(兀,0)=0(兀)设w(x,r)=V(x,r)+W(x,z),通过适当选取W(x,t)使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使WCM)满足：说(0,/)=g&),W}(U)=g2(t)即可。小结：分离变量法的解题步骤a,令U(x,t)=X(x)+T(t)b,将试探解带入泛定方程。c,将等式两边同时乘以亠，进行分离变量，获得两个常微分方a%程。d,由边界条件，将X(x)方程解出需要讨论本征值久(2>0,A=O,A<0)三种情况，获得本正值和本征函数。e,写出T(t)解的形式后与X(x)—起构成t/(x,r)通解形式。f,由初始

8、条件确定待定系数。三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法傅里叶级数解法-=a200---(1)d厂dx

9、ks4・・・⑼t8kY7TWCV)=E(t)sinE^…⑼(9)式带回到(6)式匕t解出:整理出”(麻)与*山)构成“山)的解，再带回到(3)是求出待定系数。小结：一般傅里叶级数的求解步骤81、令t/(x,r)=^T(t)Xk(x),其中展开基Xk(x)为对应齐次函数本征函k=0k数(由边界条件决定)2、将t/(x,r)=^；T(t)Xr(x)带入泛定方程后，将f(x,t)也按XJx)展为k=0k傅里叶级数，