最优控制(动态求解)教学提纲.ppt

《最优控制(动态求解)教学提纲.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、最优控制(动态求解)最优控制问题最优控制问题的一般提法：在满足系统方程的约束条件下，在容许控制域中确定一个最优控制律，使得系统状态从已知初态转移到要求的目标集，并使性能指标达到极值。最优控制的应用类型I.积分型性能指标最小时间控制；最少能量控制；最少燃料控制；II.末值型性能指标III.复合型性能指标4.1用变分法解最优控制4.1.1泛函与变分4.1.2欧拉方程4.1.3横截条件4.1.4变分法解最优控制问题返回主目录在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极值问题的有力工具是

2、变分法。所以下面就来列出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者可对照微分学中的结果来理解。4.1.1泛函与变分如果对某一类函数中的每一个函数，有一个实数值与之相对应，则称为依赖于函数的泛函，记为粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。(函数的函数)1、泛函：先来给出下面的一些定义。2、泛函的连续性：则则线性泛函是连续的，称J[x]为线性连续泛函。若对于收敛于点x0点列xn，其中x0，xn，均有则称泛函J在x0处连续。对于线性泛函J[x],若满足下面条件的泛函称为线性泛函这里是实数，和是函数空间中的函数。3、线性泛

3、函：4、自变量函数的变分：自变量函数的变分是指同属于函数类中两个函数、之差这里,t看作为参数。当为一维函数时，可用图4-1来表示。图4-1自变量函数的变分这里，是的线性泛函，是关于的高阶无穷小，则称为泛函J[x]的变分。可知泛函变分就是泛函增量的线性主部。当自变量函数有变分时，泛函的增量为5、泛函的变分：当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方法来确定。定理设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函，若在x=x0处J[x]可微，则J[x]的变分为证明:由于是的线性连续泛函，又因为

4、是的高阶无穷小，泛函变分的规则举例：可见，计算泛函的变分如同计算函数的微分一样。6、泛函的极值：若存在，对满足的一切X，具有同一符号，则称在处有极值(极大值或极小值)。定理(变分预备定理)：设是时间区间[t0,t1]上连续的n维向量函数，是任意的连续n维向量函数，且有，若则必有4.1.2欧拉方程假定t0与tf给定，且初态与末态两端固定。(1)无约束泛函极值的必要条件定理设有如下泛函极值问题：（1）已知x(t0)=x0x(tf)=xf,则极值曲线应满足如下欧拉方程（2）（3）及横截条件于是泛函J的增量可计算如下（以下将*

5、号省去）上式中是高阶项。证明：与之间有如下关系根据定义，泛函的变分是的线性主部，即对上式第二项作分部积分，按公式可得（4）J取极值的必要条件是等于零。因是任意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为零，必有（5）（4）式中第二项即为结论中的式(3).举例：利用上面的结论求得(2)有等式约束泛函极值的必要条件定理设有如下泛函极值问题：（6）已知x(t0)=x0，x(tf)=xf,则极值曲线应满足如下欧拉方程和横截条件其中，为拉格朗日函数，是待定拉格朗日乘子。4.1.3横截条件末端时刻固定时的横截条件当tf固定时，在x(t0

6、)=x0固定时，横截条件为如果末端状态也固定x(tf)=xf时，边界条件退化为x(t0)=x0，x(tf)=xf；当末端状态自由时，横截条件为x(t0)=x0x(t0)=x0(2)末端时刻自由时的横截条件末端受约束时,存在如下近似关系:如果末端自由，则曲线c(t)不存在。设性能指标为容许轨线x(t)与极值曲线x*(t)之间有如下关系（7）当末端由(xf,tf)移动到时，产生如下的泛函增量（8）将(8)右端的第二项在极值曲线泰勒展开对上式右端的第二项分部积分将以上结果代入(8)，取增量的线性主部，得泛函的变分令，得欧拉方

7、程和横截条件：（9）（10）末端时刻自由、末端状态变动时的横截条件1)末端状态自由时的横截条件当x(tf)自由时，由(7)可知代入(10)可得到因为任意，所以tf自由、x(tf)自由的横截条件和边界条件为：（11）2)末端状态受约束时的横截条件设受约束方程为x(tf)=c(tf),由(7)可知代入(11)，并考虑任意，得到tf自由、x(tf)受约束的横截条件和边界条件为(11.1)如果t0也自由、x(t0)受约束，即沿着曲线g(t)则应满足以下横截条件(11.2)例子:求平面上给定两点A(0,1),B(1,3)间的最短

8、弧长。若B点可沿曲线c(t)=2-t移动，求一连接A、B两点且弧长最短的曲线。对于最短弧长问题，它是泛函在两端固定条件下的变分问题，欧拉方程的解为x=at+b带入边界条件可得解x=2t+1。(2)属于末端受约束的变分问题，其最短弧长满足与(1)相同的欧拉方程，因此x=at+b，因为初始点没有变化，所以由x(0)=1可得b=1.为了