工程数学线性代数同济第五版课件1-4

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1、第四节对　换一、　对换的定义二、对换与排列奇偶性的关系三、小结一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如二、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明首先，考虑相邻对换对换与除外，其它元素的逆序数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.其次，考虑一般对换当时，现在对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论奇排列调成标

2、准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.其中为列标排列的逆序数.证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.下面我们讨论n阶行列式的另一种表达式一般项行标排列为标准排列行标排列，逆序数为r(奇数）列标排列，逆序数为则于是上式表明：对换两个元素，行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性。经一次对换是如此，经多次对换还是如此。于是，经若干次对换后，得到：行标排列由标准排列变为某个新的排列，设为定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.证明按行列式定义有综合上述，得到记对于D中任意一项总有且仅有

3、中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而定理3阶行列式也可定义为其中是两个阶排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例1试判断和是否都是六阶行列式中的项.解下标的逆序数为所以是六阶行列式中的项.下标的逆序数为所以不是六阶行列式中的项.例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解431265的逆序数为所以前边应带正号.(2)行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以前边应带正号.1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．2.行列式的三种表示方法三、小结其中是

4、两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.