抽象函数的单调性.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。思路：添项法。类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。一类：一次函数型函数满足：f(ab)f(a)f(b)k或f(ab)f(a)f(b)k例1、f(x)对任意x,yR都有：f(xy)f(x)f(y)，当x0时,f(x)0，判断f(x)在R上的单调性。解：x1,x2R,x1x2fx1fx2f(x1x2x2)fx2f(x1x2)f(x2)f

2、x2f(x1x2)x1x2x1x20,f(x1x2)0fx1fx20,f(x)在R上是增函数例2、f(x)对任意实数x与y都有f(x)f(y)f(xy)2,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R上是增函数；（2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3)<3解：（）x1x2R,x1x21f(x1)fx2f(x1x2)2x1x2,x1x20,当时，f(x)2x0f(x1x2)20,则f(x1)fx20f(x)在R上是增函数（）令x2,y1,则2f(2)f(1)f(21)2f(2)3原不等式可化为f(2a3)f(2)又f(x)

3、在上是增函数R2a32解得a52【专练】：1、已知函数f(x)对任意x，yR有f(x)f(y)2f(xy)，当x0时，f(x)2，f(3)5，求不等式f(a2a)的解集。2232、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y∈R都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时,f(x)0(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二类：对数函数型函数满足：f(ab)f(a)f(

4、b)或f(a)f(a)f(b)b例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy)=f(x)+f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3)=-1.(1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x)+f(2-x)<2。解：（）令x1,y3,则f(13)f(1)f(3),解得f(1)01令x1,y3,则f(13)f(1)f(3),解得f(1)13333令xy111112,则f()f()f()33333即f(1)29（2）x1,x2(0,),x1x20f(x1)fx2f(f(x1)f(x2)x2

5、x1x20x1x2x1x2)f(x2)x2x1f(x2)f()1,f(x1)0x2f(x1)fx20,函数f(x)在上是减函数。x0(3)f(x)f(2x)f(2xx2),且f(1)29原不等式可化为：21,解得22222xx91-3x13例2、定义在(0,)上函数yf(x)对任意的正数a,b均有：f(a)f(a)f(b)，且当x1时，f(x)0,b（I）求f(1)的值;（II）判断f(x)的单调性,【专练】：1、定义在(0,)上的函数f(x)对任意的正实数x,y有f(x)f(x)f(y)且当0x1时，yf(x)0.求:(1)f(

6、1)的值.(2)若f(6)1,解不等式f(x3)12；f()x2、函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,又f(2)1，（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数（3）解不等式f(2x21)23、设f(x)是定义在(0,)上的函数，对任意x,y(0,)，满足f(xy)f(x)f(y)且当x1时，f(x)0。（1）求证：f(x)f(x)f(y)；（2）若f(5)1，解不等式f(x1)f(2x)2.y2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯三类：指数函数型函数满足：f(ab)f(a)f(b)或f(ab)f(a)f(b)例1、定义在R上的函数f(x)，满足当x0时，f(x)1,且对任意x,yR,有f(xy)f(x)f(y),又知f(1)2.1f(0)的值；2xR都有f(x)03）解不等式f(3xx)4；（）求（）求证：对任意；（2【专练】：1、定义在R上的函数yf(x)对任意的m,n都有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1I）证明：xR都有f(x)0；（II）求证：yf(x)在R上为减函数；（

8、III）解不等式f(x)f(2x-x)>1。，（·22、若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(ab)f(a)f(b)，且当x0时，f(x)1；（1）求证：f(x)0；（2）求证：f(x)为减函数（3）当f(4)1时，解不等式f(x