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1、恒成立问题及其解法恒成立问题是一类重要的数学问题，其常见的类型有：与数列、方程、函数、不等式有关的等式恒成立问题。一般常用的解决方法有最值法、分离参数法和数形结合法等。一、与自然数有关的等式恒成立问题应用数列的通项公式，判断出数列的最大（小）项，再用恒成立的原理解决。【例1】（1）函数f(x)x2ax在[1,)上为增函数,则a的取值范围是;数列an中，ann2an，若数列an是递增数列，则a的取值范围是。（2）已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)6x2，数列{an}的前n项和为S
2、n，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式；1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得TnmN都成立的最小正整数（Ⅱ）、设bn对所有nanan120m；针对性练习：已知数列{an}的各项均为正数，且a16，点An(an,an1)在抛物线y2x1上；数列{bn}中，点Bn(n,bn)在过点（0，1）且方向向量为（1，2）的直线上。（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）对任意正整数n，不等式an2an(11)(11)L(11)恒成立，求正数a的取值范围。b1
3、b2bn1二、不等式恒成立问题1．一元一次不等式f(x)=ax+b>0(<0)在[m,n]上恒成立的充要条件是a0f(m)0a0b或f(n)（b或000f(m)0f(n)0【例2】不等式x2a1xa100对a1,2恒成立，则x的取值范围是。针对性练习：对
4、m
5、≤2的一切实数m，则使不等式2x1m(x21)恒成立的x的取值范围是。2.应用二次不等式ax2+bx+c>0在x∈R上恒成立的充要条件是ab0或a0。c00【例3】关于x的不等式ax2ax10恒成立，则a的取值范围是。针对性练习：（1）已知y1x3b
6、x2b2x3是R上的增函数，则b的取值范围是。3（2）若f()log[2x2(m3)x2]的定义域为R，则实数m的取值范围是。x2mb,]b[2+bx+c>0(a>0)[,]或2a3.应用f(x)=ax在[α,β]上恒成立的充要条件2af()00f()0【例4】已知不等式（1-m）x2+(m-1)x+3>m在x[2,2]上恒成立，求m的取值范围针对性练习：已知二次函数f(x)2x24(a1)xa22a9（1）若在区间[-1，1]内至少存在一个实数m，使f(m)>0，求实数a的取值范围；（2）若在区间[-1
7、，1]内的一切实数m，都有f(m)>0，求实数a的取值范围。24．应用简单命题m≥g(x)恒成立m≥max(g(x)),m≤g(x)恒成立m≤min(g(x))【例5】已知函数fx2x12x（1）若fx2，求x的值；（2）若2tftmft0对t1,2恒成立，求实数m的取值范围。2针对性练习：已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)1，若a,b[1,1],ab0时均有f(a)f(b)0ab（1）判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；（2）若f(x)m22am1对所有的x[1,1],a[1,
8、1]恒成立，求实数m的取值范围。35．应用简单命题：对于xD,f(x)g(x)恒成立f(x)g(x)0恒成立；对于x1,x2D,f(x1)g(x2)恒成立f(x)ming(x)max。【例5】已知两个函数f(x)x22xc，g(x)x33x.（1）若对任意x[1,2]，都有f(x)g(x)成立，求实数c的取值范围.（2）x1,x2[1,2],f(x1)g(x2)恒成立，求实数c的取值范围.练习已知函数4x27f(x),x[0,1]2x（1）求函数f(x)的值域；（2）设a1，函数g(x)x33a2x2a,
9、x[0,1]，若对任意的x1[0,1]，总存在x0[0,1]，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范围。4
