高考一轮复习坐标系与参数方程.doc

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1、年级高三学科数学内容标题坐标系与参数方程编稿老师褚哲一、教学目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.了解极坐标系中直线.圆和圆锥曲线的方程.4.分析直线.圆和圆锥曲线的几何性质，能选择适当的参数写出它们的参数方程.5.能进行参数方程与普通方程的互化.二、知识要点：（一）直角坐标系背景：为了确保宇宙飞船能在预定轨道上运行，完成各项任务，飞船控制中心需要随时测定飞船在空中的位

2、置和其运动的轨迹.侦查兵如何向我方炮兵提供敌人的火力点的位置？这都涉及到如何刻画一个几何图形的位置：1.数轴2.直角坐标系3.空间直角坐标系（二）极坐标系1.上述问题若采用直角坐标系，不仅坐标轴难以选择，而且点的坐标也不便测定.为了简便地表示上面问题中点的位置，应如何创建坐标系？一般地：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，其中O点称为极点，射线OX称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线OX为始边，射线O

3、M为终边所成的角，那么有序数对M（ρ，θ）称为点M的极坐标，ρ称为点Ｍ的极径，θ称为点Ｍ的极角．由点Ｍ的极径的几何意义知：ρ≥０，点Ｍ的极角θ的范围为［０，２π］．我们约定极点Ｏ的极坐标是极径ρ＝０，极角θ可取任意值．为了研究方便，在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角也可以取任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M（ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM＝

4、ρ

5、．例：写出图中各点的极坐标．A（4，0），B（2，），C（3，），D（1，），E（3.5，），F（6，），G（5，）一般地，如果（ρ，θ）是点M的极坐标，那么（ρ，θ＋

6、2kπ）或（－ρ，θ＋（2k＋1）π），k∈Z都可以作为点M的极坐标.但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系.2.曲线的极坐标方程（1）定义：如果极坐标系中的曲线C和方程f（ρ，0）＝0之间建立了如下关系：①曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f（ρ，θ）＝0；②坐标满足f（ρ，θ）＝0的点都在曲线C上，那么方程f（ρ，θ）＝0叫做曲线C的极坐标方程．（2）求曲线极坐标方程的步骤：①用（ρ，θ）表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件ρ的点M的集合P＝｛M

7、p（M）｝；③用坐标表示

8、条件ρ（M），列出方程f（ρ，θ）＝0；④化方程f（ρ，θ）＝0为最简形式．（3）直线的极坐标方程若直线l经过点，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程为（4）圆心是A（，），半径r的圆的极坐标方程为特殊位置的圆的极坐标方程图3－23：ρ＝2rcosθ；图3－24：ρ＝－2rcosθ；图3－25：ρ＝2rsinθ；图3－26：ρ＝－2rsinθ．2.极坐标与直角坐标的互化．（三）参数方程1.定义一般地，在直角坐标系中如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数，反过来，对于t的每个允许值，由函数式所确定的

9、点P都在曲线上，那么方程叫做曲线C的参数方程．t叫参变量．2.直线参数方程的标准式（1）过点P0（），倾斜角为的直线的参数方程是（t为参数）t的几何意义：有向直线上从已知点P0（）到点P（）的有向线段的数量，且

10、P0P

11、＝

12、t

13、当t＞0时，点P在点P0的上方；当t＝0时，点P与点P0重合；当t＜0时，点P在点P0的下方；3.椭圆的参数方程【典型例题】例题1.已知B村位于A村的正西方向1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60ْ的方向埋设一条地下管线m，但在A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W，根据初步勘察的结果，文物管

14、理部门将遗址W周围100米范围化为禁区，试问，埋设地下管线m的计划需要更改吗？解：建立直角坐标系，则A（0，0），B（－1000，0），W（－200，200），得m的直线方程为x－y＋1000＝0，点W到直线m的距离为，所以，埋设地下管线m的计划可以不更改.例题2.已知点Q（a，b），分别按下列条件求出点P的坐标．（1）P是点Q关于点M（m，n）的对称点（2）P是点Q关于直线l：x－y＋4＝0的对称点（Q不在直线l上）解：设点P的坐标为（1）M是PQ的中点，因此，所以P点坐标为（2m－a，2n－b）．（2）由题意得所以P坐标

15、为（b－4，a＋4）．例题3.在极坐标系中，（１）已知两点，求线段ＰＱ的长度（２）已知点Ｍ的极坐标为说明满足上述条件的点Ｍ的位置解：（1）PQ＝5＋1＝6．（2）点M在过极点且与极角成角的直线上．例题4.在极坐标系中，已知点Q，分别按下列条件求出点P的极坐标.（1）P是点Q关于极点O的对称