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1、§8.4 直线、平面平行的判定和性质高考文数(北京市专用)1考点 直线、平面平行的判定和性质1.(2012北京,16,14分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.A组 自主命题·北京卷题组五年高考2解析(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.(2)证明:由已知得AC⊥
2、BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.因为A1D∩CD=D,所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,CD∩DE=D,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:3如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知,DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.即A1C⊥平面DEQ.故线
3、段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.评析本题的前两问属容易题,第(3)问是创新式问法,可以先猜后证,此题对于知识掌握不牢靠的学生而言,可能不能顺利解答.42.(2015北京,18,14分,0.89)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.5解析(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的
4、中点,所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB.因为OC⊂平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解法一:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB=.又因为OC⊥平面VAB,6所以三棱锥C-VAB的体积等于OC·S△VAB=.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为.解法二:连接VO,与(2)同理,可证VO⊥平面ABC,在等边三角形VAB中,AB=2,所以VO=.所以三棱锥V-ABC的体积等于V
5、O·S△ABC=××=.思路分析(1)在△ABV中,利用中位线定理有OM∥VB,由此证明VB∥平面MOC.(2)先证OC⊥AB,再由平面VAB⊥平面ABC证得OC⊥平面VAB,由此证明平面MOC⊥平面VAB.(3)解法一:通过三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,计算求解.解法二:直接求解V-ABC的体积.评析本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,以及几何体体积的求解,考查学生空间想象能力和逻辑推理能力.73.(2014北京,17,14分,0.86)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别
6、是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.8解析(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1.又因为AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.9所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为E
7、G⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB==,所以S△ABC=×1×=.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=××2=.10思路分析(1)欲证平面ABE⊥平面B1BCC1,利用判定定理,只需证明平面ABE内的直线AB与平面B1BCC1垂直,即只需证明AB与平面B1BCC1内的两条相交直线垂直,利用直棱柱的性质和直角三角形可证.(2)欲证C1F∥平面ABE,只需在平面ABE内找到一条直线与C1
