资源描述：
《§8.4 直线、平面垂直的判定和性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.4直线、平面垂直的判定和性质考点 垂直的判定与性质1.(2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案 D2.(2014课标Ⅰ,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(1)证明:AC=AB1;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.解析 (1)连结BC1,交B
2、1C于点O,连结AO.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO.又B1O=CO,故AC=AB1.(2)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,
3、OB
4、为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又AB=BC,则A0,0,33,B(1,0,0
5、),B10,33,0,C0,-33,0.AB1=0,33,-33,A1B1=AB=1,0,-33,B1C1=BC=-1,-33,0.设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则n·AB1=0,n·A1B1=0,即33y-33z=0,x-33z=0.所以可取n=(1,3,3).设m是平面A1B1C1的法向量,则m·A1B1=0,m·B1C1=0.同理可取m=(1,-3,3).则cos=n·m
6、n
7、
8、m
9、=17.所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为17.3.(2014福建,17,13分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥
10、BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.解析 (1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以BE,BD,BA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(
11、0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M0,12,12,则BC=(1,1,0),BM=0,12,12,AD=(0,1,-1).设平面MBC的法向量为n=(x0,y0,z0),则n·BC=0,n·BM=0,即x0+y0=0,12y0+12z0=0,取z0=1,得平面MBC的一个法向量为n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则sinθ=
12、cos
13、=
14、n·AD
15、
16、n
17、·
18、AD
19、=63,即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.4.(2014广东,18,13分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥
20、平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D-AF-E的余弦值.解析 (1)证明:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,又CD⊥AD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC,又AF⊥PC,AF∩AD=A,∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF.(2)解法一:设AB=1,则Rt△PDC中,CD=1,∵∠DPC=30°,∴PC=2,PD=3,由(1)知CF⊥DF,∴DF=32,∴CF=12,又FE∥CD,∴DEPD=CFPC=14,∴DE=34,同理,EF=34CD=3
21、4,如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),E34,0,0,F34,34,0,P(3,0,0),C(0,1,0).设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则m⊥AE,m⊥EF,又AE=34,0,-1,EF=0,34,0,∴m·AE=34x-z=0,m·EF=34y=0,令x=4,得z=3,故m=(4,0,3),由(1)知平面ADF的一个法向量为PC=(-3,1,0),设二面角D-AF-E的平面角为θ,可知θ为锐角,cosθ=
22、cos
23、=
24、m·PC
25、
26、m
27、·
28、PC
29、=4319×2=25719,故二面角D-AF-E的余
30、弦值为25719.解法二:设AB=1,∵CF⊥平面ADF,∴CF⊥DF.∴在△CFD中,DF=32,∵CD⊥
