第3讲 等比数列及其前n项和.doc

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1、第3讲　等比数列及其前n项和【2013年高考会这样考】1．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定．2．考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用．【复习指导】本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用．基础梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·

2、b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.一个推导利用错

3、位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝(q≠1)．两个防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋

4、2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是(　　)．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性解析　当a1＞0,0＜q＜1，数列{an}为递减数列，当q＜0，数列{an}为摆动数列．答案　D2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)．A．－B．－2C．2D.解析　由题意知：q3＝＝，∴q＝.答案　D3．在

5、等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　)．A．4B．8C．16D．32解析　由等比数列的性质得：a2a6＝a＝16.答案　C4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)．A．－11B．－8C．5D．11解析　设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴＝·＝＝＝－11.答案　A5．(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.解析　设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak

6、＋a4＝0，所以＋]＝0，即k＝10.答案　10　　考向一　等比数列基本量的计算【例1】►(2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.[审题视点]列方程组求首项a1和公差d.解　设{an}的公比为q，由题设得解得或当a1＝3，q＝2时，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【训练1】等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公

7、比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解　(1)∵a3·a4＝a1·a6＝，又a1＋a6＝11，故a1，a6看作方程x2－11x＋＝0的两根，又q∈(0,1)∴a1＝，a6＝，∴q5＝＝，∴q＝，∴an＝·n－1＝·n－6.(2)由(1)知Sn＝＝21，解得n＝6.考向二　等比数列的判定或证明【例2】►(2012·长沙模拟)已知数列{an}满