2020_2021学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4第2课时均值不等式与最大值最小值学案含解析新人教B版必修第一册.doc

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1、第2课时　均值不等式与最大值、最小值内　容　标　准学　科　素　养1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．逻辑推理、数学运算、数学建模2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.授课提示：对应学生用书第34页[教材提炼]知识点　用均值不等式求最值用均值不等式≥求最值应注意：(1)x，y是不是正数；(2)若x，y是正数，①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.(3)等号成立的条件是否满足．[自主检测]1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)A.　　B．1　　　C．2

2、　　　D．4答案：C2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________．答案：13．当x＞1时，x＋的最小值为________．答案：3授课提示：对应学生用书第35页探究一　用均值不等式求最值[例1]　(1)若x＞0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；[解析]　∵x＞0.∴x＋≥2＝4当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋(x＞0)在x＝2时取得最小值4.(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；[解析]　∵0＜x＜，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈，∴

3、函数y＝4x(3－2x)的最大值为.(3)已知x＞2，求x＋的最小值；[解析]　∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6.(4)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[解析]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.应用均值不等式的常用技巧(1)常值代替这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，

4、y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．(2)构造不等式当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．(3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．解析：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，解得x＝1－，y＝－1，∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.探究二　均值不等式的实际应用[例2]　如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后

5、还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？[解析]　(1)T＝＝＝＋＋.(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．∵T＝＋

6、＋≥2＋＝，当且仅当＝，即v＝20时取等号．∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货．每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解析：设每年购进8000个元件的总花费为S，一年总库存费用为E，手续费为H，每年分n

7、次进货，则x＝，E＝2××，H＝500n.所以S＝E＋H＝2××＋500n＝＋500n＝500≥4000.当且仅当＝n，即n＝4时总费用最少，故以每年进货4次为宜.授课提示：对应学生用书第36页一、用均值不等式求最值的策略1．配凑以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x)＝ax＋b＋的函数求最值时可以考虑配凑法．[典例]　函数y＝(x＞－1)的最小值为___