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《2013考研数学线性代数第二讲 行列式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二讲行列式1.形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:(简记为)意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号!(不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作.行列式的的核心问题是值的计算.一.定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:一般地,一个n阶行列式=这里1．是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-
2、1.)2.每一项,都是n个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标构成1,2,…,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项.表示对所有n元排列求和.3.规定为全排列的逆序数.称12…n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求的逆序数:,()=3+2+3+2+0+0=10.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项
3、不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如下三角行列式对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积例求的和的系数.解析：的系数是1；的系数是-10二.化零降阶法1.余子式和代数余子式元素的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作.的代数余子式为.2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.n=4,例如求3阶行列式=(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-4M12+6m3=(-3)´(-5)-4´(-18)+6´(-10)=27.例解析：原
4、式=1A11+tA1n=1+=1+例求行列式的第四行各元素的余子式的和.解析：所求为原式=将原行列式换为即他的值就是原题的余子式之和答案为-28（对第三行展开)3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.08题.证明
5、A
6、=(n+1)an.分析：证明：初等变换4.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.三.其它性质行列式还有以下性质:3．把行列式转置值不变,即.4．作第一类初等变换,行列式的值变号.5．作第二类初等变换,行列式的值乘c.问题：；；；6．对一行或一列可分解
7、,即如果某个行(列)向量，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如问题：例如：例设4阶矩阵解：7.如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.8.某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.例已知行列式的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.解析：思路：利用性质8拉普拉斯公式的一个特殊情形：如果A与B都是方阵(不必同阶),则范德蒙行列式：形如的行列式(或其转置).它由所决定,它的值等
8、于因此范德蒙行列式不等于两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算.四.克莱姆法则克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n(即系数矩阵A为n阶矩阵)时.方程组有唯一解.此解为是把的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式.1.是方程组有唯一解的充分必要条件.问题:于是只用说明是方程组有唯一解的充分必要条件.2.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵作初等行变换,使得A变为单位矩阵:；就是解.用在齐次方程组上:如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是.例设有方程组(1)
9、证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情况求解.分析：证明：（1）由克莱姆法则法则可知故a,b,c两两不相等（2）五.典型例题例1①②③④对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n阶行列式.②分析：解：①分析：与②同理④分析：类型一致③分析：把下面三行分别加到第一行例2解：所以值=15×125=1875例3解：例4证明分析：证明：归纳法：展开递推再用归纳法证明之也可以：
