考研数学 线性代数讲义第1章行列式.pdf

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1、2008春季班线性代数第1章行列式1—1第1章行列式1.1行列式的概念2n阶行列式是一个数，是由n个数排成n行n列的方阵aa?a11121naa?a21222n????aa?an1n2nn所决定的．例如：二阶行列式12=1×4−2×3=−234二阶行列式一般的计算公式是aa1112=a×a−a×a．11221221aa2122三阶行列式的计算公式是aaa111213aaa212223aaa3132332008春季班线性代数第1章行列式1—2a22a23a21a23a21a22．=a×−a×+a×111213aaaaaa323331333132在n阶行列式中，去掉元素a所在的第i行和第i

2、jj列，剩下的是一个n−1阶行列式，叫做a的余子ij式，记作M．ijaaa111213aaa=aM−aM+aM212223111112121313aaa313233记i+jA=(−1)Mijij称A为a的代数余子式.ijijaaa111213aaa=aA+aA+aA．212223111112121313aaa313233aa?a11121naa?a21222n=aA+aA+?+aA111112121n1n????aa?an1n2nn2008春季班线性代数第1章行列式1—3例1x00x121x1=x=x(x−1)=x−x．11011例210?020?002?003?0=1×=?=n!??

3、??????00?n00?n例3a0?011a?022aa?02122=a???11????．a?an2nnaa?an1n2nn=?=aa?a1122nn2008春季班线性代数第1章行列式1—41.2行列式的性质行列式的最基本的性质是以下4个：性质1行列式中行列互换，其值不变．aaaaaa111213112131aaa=aaa．212223122232aaaaaa313233132333性质2行列式中两行（列）对换，其值变号．aaaaaa111213212223aaa=–aaa．212223111213aaaaaa313233313233性质3行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将

4、公因子提到行列式外．aaaaaa111213111213kakaka=kaaa．212223212223aaaaaa313233313233性质4行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．aaa111213a+ba+ba+b=212122222323aaa3132332008春季班线性代数第1章行列式1—5aaaaaa111213111213aaa+bbb．212223212223aaaaaa313233313233由以上四条基本性质，还能推出下面几条性质：性质5行列式中如果有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为０．性质6行列式中如果有两行（列

5、）元素对应成比例，则行列式的值为０．性质7行列式中如果有一行（列）元素全为０，则行列式的值为０．性质8行列式中某行（列）元素的k倍加到另一行（列），其值不变．12例4计算．An例5设α,α,α均为3维列向量，记矩阵123A=(α,α,α)，123B=(α+α+α,α+2α+4α,123123α+3α+9α)1232008春季班线性代数第1章行列式1—6如果A=1，那么B=.行列式中常用的公式还有：1．范德蒙德(Vandermonde）行列式11?1aa?a12n=∏(ai−aj)????1≤j

6、(−1)AB，其中A是n阶方阵，B0B是m阶方阵．上面两个公式还可以推广为：A04．=AB，其中A是n阶方阵，B是m阶CB方阵，C是m×n的矩阵．AC或=AB，其中A是n阶方阵，B是m阶0B方阵，C是n×m的矩阵．2008春季班线性代数第1章行列式1—7CAmn5．=(−1)AB，其中A是n阶方阵，B0B是m阶方阵，C是n×m的矩阵．0Amn或=(−1)AB，其中A是n阶方阵，BBC是m阶方阵，C是m×n的矩阵．11111−123例6计算．11491−18270?10????例7计算．n−1?000?0na00b110ab022例8计算．0ba033b00a442008春季班线性代数第

7、1章行列式1—81.3行列式的计算1−11x−11−1x+1−1例9计算．1x−11−1x+1−11−1例10计算n阶行列式1a0?00101a?002001?00．??????000?1an−1a00?01nabababab11121314abababab12222324例11计算．abababab13233334abababab142434442008春季班线性代数第1章行列式1—9ab?bba?b例12计算n阶行列式．????bb?aa1