数列的概念与简单表示法 学案（人教A版必修5）.doc

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1、第二章　数　列§2.1　数列的概念与简单表示法材拓展1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{an}单调递增⇔an＋1>an对任意n(n∈N*)都成立；数列{an}单调递减⇔an＋1

2、连续的曲线．例如：已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　)A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a30解析　∵an＝＝＋1∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上．在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象．由图象易知当x∈(0，)时，函数单调递减．∴a9a11>…>a30>1.所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.答案　C2．了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{an}，若存

3、在一个大于1的自然数T(T为常数)，使an＋T＝an，对一切n∈N*恒成立，则称数列{an}为周期数列，T就是它的一个周期．易知，若T是{an}的一个周期，则kT(k∈N*)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{an}中，a1＝a(a为正常数)，an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则下列能使an＝a的n的数值是(　　)A．15B．16C．17D．18解析　a1＝a，a2＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝a，a5＝＝，…….∴a4＝a1，a5＝a2，…依次类推可得：an＋3＝an，∴{an}为周期数列，周期为3.∵a1＝a，∴a3k

4、＋1＝a1＝a.答案　B3．数列的前n项和Sn与an的关系对所有数列都有：Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有：an＝Sn－Sn－1.当n＝1时，有：a1＝S1.所以an与Sn的关系为：an＝.注意这一关系适用于所有数列．例如：已知数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1，则an＝________.解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[(n－1)·2n＋1]－[(n－2)·2n－1＋1]＝(n－1)·2n－(n－2)·2n－1＝n·2n

5、－1.所以通项公式可以统一为an＝n·2n－1.答案　n·2n－14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求和，采用累加法求an.即：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝a1＋f(i)(2)形如an＋1＝f(n)·an，且f(1)·f(2)…f(n)可化简，采用累乘法求an.即an＝a1···…·＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)＝a1·f(i)(注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如

6、an＋1＝Aan＋B(AB≠0且A≠1)．设an＋1－x＝A(an－x)，则：an＋1＝Aan＋(1－A)x由(1－A)x＝B，∴x＝∴an＋1－＝A∴an－＝A＝A2＝…＝An－1∴an＝＋An－1＝(1－An－1)·＋An－1a1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，

7、即an如何用n表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n或(－1)n－1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，，，，…；　　(2)，2，，8，，

8、…；(3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…；(6)1，，，，，….解　(1)注意前四项中有两项的分子为4，不