《平移与旋转》竞赛辅导.doc

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1、《平移与旋转》竞赛辅导“平移与旋转”是继轴对称之后的另两种图形的基本变换．图形的变换是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”领域的一个主要内容，通过学生所熟悉的实际生活现象，认识平移与旋转，进而探索图形变换的一些基本性质，体验变换的理念与思想，利用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，认识和欣赏图形的这些基本变换在现实生活中的应用．探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），拓展学生的思考与探索的空间，给学生解决一些简单的几何证明提供一点方法。一、基本概念：1、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和

2、大小。2、在平移过程中，图形的形状与大小都没有变化，从而能将一些简单的平面图形按要求平移到适当的位置．经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。平移线段与原线段平行且相等；平移的角与原来的角的两边分别平行且方向一致。3、为了寻求解题途径，可以把题目中的某些线段平移到某一适当的位置，作出辅助图形，使问题得到解决。4、将平面图形绕平面内一定点旋转一个定角，得到与原来图形的形状和大小都一样的图形，这样的变换叫旋转变换。5、一些绕着某一定点转动一定角度后能与自身重合的图形，这些图形都是旋转对称图形．这样的图形有许多，例如线段、等边三角形、平行四边

3、形、圆等．6、经过旋转，图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。7、设点A和B的连线被直线L所垂直平分，则A点叫做点B关于L的对称点，直线L叫这两点的对称轴。如果一点在对称轴上，那么它的对称点就是它本身。对称点的连线垂直于对称轴。二、典型例题1、平移例1在△ABC中，已知，BC=18，在边AB，AC上分别取一点D、E，使AD=CE，且DE∥BC，求DE的长。解：∵DE∥BC，作CE平移到FD，连结AF则FCED为平行四边形∴FD=CE=AD且DF∥EC∴∠1=∠2=∠3∴FA为

4、∠BAC的角平分线∴BF:FC=AB:AC（18-FC）:FC=7:5FC=7.5∴DE=7.5例2：P是平行四边形ABCD内的一点，且∠FAB=∠FCB，求证：∠FBA=∠FDA.证明：作△ABF平移到△DCF'则△ABF≌△DCF'∴∠1=∠5∠3=∠6又∵F平移到F'∴四边形BCF'F与ADF'F均为平行四边形∴∠7=∠4,∠2=∠8,又已知∠1=∠2∴∠5=∠8,∴P、C、F'、D四点共图∴∠6=∠7,∴∠3=∠4,故∠FBA=∠FDA由上面的例子可看出，当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而不易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分进行平移

5、变换，是一种较凑效的方法。２、旋转旋转变换如果集于定点有以定点为公共端点的相等线段，可以进行绕定点的旋转变换，例如在等腰三角形、正方形、圆等图形中，或出现线段中点条件时，都可考虑将图形或其部分进行旋转变换。例３.如图，设P是三角形ABC的外角平分线上任一点(不包括A点),求证:PB+PC>AB+AC.证明：延长CA到D，使AD=AB,连结D、P.∵AP是∠BAD的平分线∴∠１＝∠２　∴△BAP≌△DAP∴PD=PB在△CPB中，CP+PD>CD∴PB+PC>AB+AC.例4：在△ABC中，∠C为等腰直角三角形，AB=BC，P为△ABC内一点，若PA2+2PB2=PC

6、2求∠APB的大小。解：作△ABPR（B，90°）△CP’B∴∠APB=∠CP’B,P’C=PA,PB=P’B,∠PBP’=∠RTA∴PP’=PB,即PB=又∵PA2+2PB2=PC2∴P’C2+2（PP’）2=PC2即P’C2+PP’2=PC2∴△P’PC为直角三角形。∴∠PP’C=90°∴∠APC=∠AP∠BP’C=90°+45°=135°（结论中要求∠APB，而已知线段的条件分散，利用AB=BC作旋转变换）。例5、在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部一点，且∠APB>∠APC求证：PB

7、证明∠PCB<∠PBC，则AB=AC，PA=PA使有PB=∠4即P’C