讲座_质数、合数和分解质因数.doc

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1、第二讲质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识　　1.质数与合数　　一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。　　一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。　　要特别记住：1不是质数，也不是合数。　　2.质因数与分解质因数　　如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。　　把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。　　例：把30分解质因数。　　解：30＝2×3×5。　　其中2、3、5叫做30的质因数。　　又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。二、例题例1三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.　

2、　解：∵210=2×3×5×7　　∴可知这三个数是5、6和7。例2两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？　　解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：　　40=17+23=11＋29=3+37。　　∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。　　∴所求的最大值是391。　　答：这两个质数的最大乘积是391。例3自然数是质数，还是合数？为什么？　　解：是合数。　　因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？　　解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～

3、9中有4个质数2、3、5、7）。　　如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。　　综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。　　解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，　　这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14　　（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第

4、二组。　　这样14×15=210=5×6×7。　　这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。例6有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。　　解：42560=26×5×7×19　　＝25×（5×7）×（19×2）　　＝32×35×38（合题意）　　要求的三个自然数分别是32、35和38。例7有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，　　a×c＝10.求a×b×

5、c是多少？　　解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。　　（a×b）×（b×c）×（a×c）　　=（2×3）×（3×5）×（2×5）　　∴a2×b2×c2=22×32×52　　∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2　　a×b×c=2×3×5＝30　　在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。　　如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.　　下

6、面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。　　例如：把下列各完全平方数分解质因数：　　9，36，144，1600，。　　解：9=3236=22×32144=32×24　　1600=26×52=32×54×72　　可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。　　反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。　　如上例中，36＝62，144=122，1600=402，=5252。例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数

7、，　　∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。　　解：∵1080×a=23×33×5×a，　　又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，　　∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。　　∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。　　答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。例9问360共有多少个约数？分析360=23×32×5。　　为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把