用函数思想解决动态问题.doc

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1、用函数思想解决动态问题动态问题是近几年来各地中考试题中出现得较多的一种题型．这类集几何、代数知识于一体的综合题，既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力．其解题策略是“动”中求“静”，“一般”中见“特殊”，抓住要害，各个击破。下面就用函数思想解决动态问题举两个例子加以说明。【例1】（2008年武汉四月）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，且A（－4，0），OC＝2OB.（1）求次抛物线的解析式；（2）如图1，作矩形ABDE，使DE过点C，点P是AB边上的一动点，连接PE，作PH⊥PE交

2、BD于点H。设线段PB的长为x，线段BH的长为。当P点运动时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围，在同一直角坐标系中，该函数的图象与（1）的抛物线中的部分有何关系？（3）如图2，在（1）的抛物线中，点T为其顶点，L为抛物线上一动点（不与T重合），取点N（－1，0），作MN⊥LN且（点M、N、L按逆时针顺序）。当点L在抛物线上运动时，直线AM、TL是否存在某种确定的位置关系？若存在，写出并证明你的结论；若不存在，请说明理由。【思路点拨】（1）；（2）△AEP∽△PBH,∴，（0≤x≤6）与原抛物线形状相同，将（1）中的抛物线向右平移

3、4个单位即得到；（3）TL⊥AM,∵∠TNL=∠ANM,且,∴△LNT∽△AMNAQCPB图（1）【例2】（2008年山东青岛）已知：如图（1），在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；AQCPB图（2）（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使

4、四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ=2t，证△APQ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H．（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP′C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。图①BAQPCH解：（1）在Rt△ABC中，，由题意知：AP=5－t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴，∴，∴．（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△APH∽△ABC，∴，∴，∴，∴．　（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+

5、BC+CQ．∴，解得：．若PQ把△ABC面积平分，则，即－＋3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．P′BAQPC图②MN（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴，∴，∴，∴，∴，解得：．∴当时，四边形PQP′C是菱形．此时，　，在Rt△PMC中，，∴菱形PQP′C边长为．【例3】（2008年山东德州）如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC

6、＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMNPOABCMNDOABCMNPO图（1）图（2）图（3）【思路点拨】（1）证△AMN∽△ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过

7、M点作MQ⊥BC于Q，证△BMQ∽△BCA；（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。然后分两种情况讨论求的最大值：①当0＜≤2时，②当2＜＜4时。ABCMNP图（1）O解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．∴=．（0＜＜4）ABCMND图（2）OQ（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC＝=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴，即．∴，∴．过M点作MQ⊥BC于Q，则．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BM

8、Q∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．ABCMNP图（3）O∵MN∥BC，∴∠