经典题型解读第1讲函数及其表示.docx

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1、第1讲函数及其表示Ⅰ考点解读一、函数的概念1.映射的定义设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应.那么这种对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.2.函数的定义（1）传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于某一个范围内任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量.（2）现代定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应.那么这种对应叫做集合A到集合B的函数，记

2、作y＝f(x).3.函数三要素①定义域：自变量x的取值范围.②值域：因变量y的取值范围.③对应关系：联结x与y的关系，一般即解析式.二、定义域求定义域的基本类型：①f(x)为整式：定义域为R；②f(x)为分式：定义域为分母不为0；③f(x)为偶次根式：定义域为根号下≥0；④f(x)＝x0：定义域为x≠0.注意：⑴求定义域时对于解析式不能化简，必须根据原式求定义域；⑵求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．三、值域1.分段函数求值问题（1）分段函数：①若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.②分段

3、函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．注意：分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的．（2）分段函数求值问题的两种类型①已知自变量求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．②已知函数值求自变量：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．2.函数求值域问题求函数值域的常见类型：（1）一般型：常见的求值域问题可用基本函数的性质等来处理，比

4、较简单.（2）绝对值型：利用绝对值的代数意义将函数以分段函数的形式来表示，各段分别求值域即可.（3）分式型：利用分离常量法将函数变形成反比例函数模型，然后用不等式基本性质运算即可.第1页（4）根式型：利用换元法将函数变形成无根式的形式，然后对换元后的新函数求值域即可.四、解析式求函数解析式的常见类型：1.类型一：已知f(x)、g(x)，求f[g(x)]型.代入法：将g(x)代入f(x)中的x，即得到f[g(x)]的解析式．2.类型二：已知f[g(x)]、g(x)，求f(x)型.换元法：可设g(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式

5、，再将t替换为x即可．3.类型三：函数形式确定型.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件列出方程组，解出待定系数即可．4.类型四：函数自变量对称出现型.函数方程法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(－x)、f(1)，f(x)．x则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出Ⅱ解题模板题型一：函数概念的理解例1：判断下列对应是否从A到B的映射：(1)A＝B＝N*，f：x→

6、x－3

7、(2)A＝{三角形}，B＝{圆}，f：三角形的内切圆例2：下列各式是

8、否能确定y是x的函数：(1)y＝x－2＋1－x＋2(2)(x－1)2＋(y－1)2＝2(3)x2－y＝3例3：判断下列各题中两个函数是否表示同一个函数:(1)f(x)＝x，g(x)＝(x)2(2)f(x)＝x，g(x)＝x2(3)f(x)＝x，g(x)＝3x3x2－4(5)f(x)＝(x＋2)2，g(x)＝

9、x＋2

10、，g(x)＝x＋2(4)f(x)＝x－2规律总结：⑴判断映射的具体步骤：①看集合A，B是否为空集；②看是否A中每一个元素在B中都能找到对应元素，是否A中每一个元素在B中都能找到唯一的对应元素.⑵判断函数的方法：若x和y的关系式中没有y2或

11、y

12、

13、，一般都是函数.⑶判断两个函数是否相同的步骤：①看定义域是否相同；②看对应关系是否相同.题型二：求定义域问题例1：求下列函数的定义域：(1)y＝x－4＋2(x＋1)04－x＋x(2)y＝x＋2例2：(1)已知y＝f(x)的定义域为[1，2]，求y＝f(2x＋1)的定义域.(2)已知y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求y＝f(x)的定义域.例3：若函数y＝mx2－6mx＋m＋8的定义域为R，求实数m的取值范围.x＋1(3)y＝x2－5x＋6第2页规律总结：求定义域的基本类型：①f(x)为整式：定义域为R；②f(x)为分式：定义域为分母不为0；③f(x

14、)为偶次根式：定义域为根号下≥0；④f(x)＝x0：定义域为x≠0