柯西不等式试题.docx

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1、柯西不等式试题一、（本大共4小）1.设a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，a＋b＋c的最大是()＋A．1B．3C．3D．92.222222已知a1＋a2＋⋯＋an＝1，x1＋x2＋⋯＋xn＝1，a1x1＋a2x2＋⋯＋anxn的最大()A．1B．2C．－1D．不确定3.若数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，a2＋b2＋c2的最小()3A．3B．1C．3D．31494.已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1.则x＋y＋z的最小()A．24B．30C．36D．48二、填空（本大共2小）5.(2013·湖南高考)已知a，b，c∈R，

2、a＋2b＋3c＝6，a2＋4b2＋9c2的最小________．6.设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋cx＋y＋z＝________.三、解答（本大共4小）7.已知数x，y，z足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小．8.已知f()＝ax2＋＋c的所有系数均正数，且a＋＋＝1，求：于任何正数x1，2，xbxbcx当x1·x2＝1，必有f(x1)·f(x2)≥1.9.求数x，y的使得(y－1)2＋(x＋y－2)2＋(2x＋y－6)2取到最小．

3、10.△ABC的三a，b，c，其外接半径R.求证：(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥36R2.sinAsinBsinC柯西不等式试题答案解析一、11.【解析】由柯西不等式得[(a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3×1＝3.1当且当a＝b＝c＝3等号成立．∴＋b＋c的最大3.故B.a【答案】B12.【解析】∵2222222(a1x1＋a2x2＋⋯＋ax)≤(a1＋a2＋⋯＋a)(x1＋x2＋⋯＋x)＝1×1＝1.nnnnn当且当ai＝xi＝n(i＝1,2，⋯，n)等号成立

4、．∴a1x1＋a2x2＋⋯＋anxn的最大是1.故A．【答案】A13.【解析】∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式，(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)∴a2＋b2＋c2≥3，当且当a＝b＝c＝1等号成立．∴a2＋b2＋c2的最小3.【答案】D14914.【解析】(x＋y＋z)(x＋y＋z)≥(x·1＋y·2＋z·3)2＝36.xyz149∴x＋y＋z≥36.【答案】C二、填空15.【解析】∵＋2＋3＝6，∴1×＋1×2＋1×3＝6.abcabc222222222

5、2111∴(a＋4b＋9c)(1＋1＋1)≥(a＋2b＋3c)，即a＋4b＋9c≥12.当且当a＝2b＝3c，即2a＝2，b＝1，c＝3时取等号．【答案】1216.【解析】由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，abc当且仅当x＝y＝z＝k时取“＝”．由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得a＋b＋c5所以＝k＝.x＋y＋z65k＝6.【答案】三、解答题5617.【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2，∵x＋2

6、y＋z＝1，2222221∴3(x＋4y＋z)≥1，即x＋4y＋z≥3.当且仅当x＝2＝＝1，即x＝1，＝1，＝1时等yz33yz36号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为1.318.【证明】由于f(x)＝ax2＋bx＋c.且a，b，c大于0.∴f(x1)·f(x2)＝(ax21＋bx1＋c)(ax22＋bx2＋c)≥(ax1·ax2＋bx1·bx2＋c)2＝(ax1x2＋bx1x2＋c)2＝[f(x1x2)]2＝[f(1)]2.又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，∴f(x1)·f(x2)≥1.18.【解】由柯西不等式，得(

7、12＋22＋12)×[(y－1)2＋(2－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(2－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝9，即(y－1)2＋(x＋y－2)2＋(2x＋y－6)2≥3，2y－12－x－y2x＋y－6当且仅当1＝2＝1，51即x＝，y＝时，上式取等号．22∴当x＝5，y＝1时(y－1)2＋(x＋y－2)2＋(2x＋y－6)2取到最小值．2220.【证明】由三角形中的正弦定理得：a14R2sinA＝2R，所以sin2A＝a2，14R214R2同理sin2B＝b2，sin2C＝c2，于是由柯西不等式可得

8、左边＝(222)(4R24R24R2a＋b＋ca2＋2＋c2)b≥(·2R·2R2R22＋＋c·)＝36R，aabbc∴原不等式得证．