资源描述：
《柯西不等式求最值.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、______________________________________________________________________________________________________________柯西不等式求最值1.设a、b、c为正数，求(abc)(4936)的最小值abc【答案】1212.设x，y，zR，且满足x2y2z25，则x2y3z之最大值为解(x2y3z)22y2z222325．1470(x)(12)∴x2y3z最大值为703.设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y
2、2z之最小值为时，(x，y，z)解(x2y2z)2(x2y2z2)[12(2)222]4．936∴x2y2z最小值为6，公式法求(x，y，z)此时xyz622212222(2)23∴x2，y4，z43334.设x,y,zR，222，试求的最大值与最小值。xyz25x2y2zMm答：根据柯西不等式(1x2y2z)2[12(2)222](x2y2z2)即(x2y2)2925z而有15x2y2z15故x2y2z的最大值为15，最小值为–15。5.设x,y,zR,2xy2z6，试求x2y2z2之最小值[2x(1
3、)y(2)z]2[22(1)2(2)2](x2y2z2)即(2xy2)29(x2y2z2)将2xy2z6代入其中，得369(x2y22)而有zzx2y2z24故x2y2z2之最小值为4。变形：.设x，y，zR，2x2yz80，则(x1)[2(x1)2(y2)(z3)]2[(x1)2(y2)(x1)2(y2)2(z3)2(9)29922(y2)2(z3)2之最小值为(z3)2]．(222212)6.设x,y,zR，若2x3yz3，则x2(y1)2z2之最小值为________，又此时y________
4、[x2(y1)2z2][22(3)212](2x3y3z)2[x2(y1)2z2]36∴最小值18xy1z147Q2x3yz3,2(2t)3(3t1)t323t,1∴t3∴y2772，则1237.设a,b,c均为正数，且a2b3c之最小值为________，此时a________。abc解：[(a)2(2b)2(3c)2][(1)2(2)2(3)2](123)2abc精品资料_________________________________________________________________
5、_____________________________________________∴(123)18，最小值为18等号发生于u//v故a2b3cabc123abc∴abc又a2b3c2∴a138.设x,y,zR，若(x1)2(y2)2z24，则3xy2z之范围为何？又3xy2z发生最小值时，x？答案：[(x1)2(y2)2z2][32(1)2(2)2](3x3y22z)24(14)(3xy2z5)22143xy2z521452143xy2z5214若3xy2z5214又x31y2zt∴3(3t1)
6、(t2)2(2t)521412∴t14∴x3141779.设x，y，zR且(x1)2(y2)2(z3)21，求xyz之最大值，最小值。1654Ans最大值7；最小值3【解】∵(x1)2(y2)2(z3)211654由柯西不等式知[42(5)22x1)2(y22z324．(x1y2)2．2](4)(2)4)5．(55(z3)2251(xyz2)25
7、xyz2
8、25xyz25∴3xyz7故xyz之最大值为7，最小值为311.（2008南开）设a,b,c为正数，且abc1,求(a1)2(b1)2(c1)2的最
9、小值.abc【答案】由柯西不等式(a1)2(b1)2(c1)21(abc111)21(19)2100abc3abc3abc312.如果abc1，求3a13b13c1的最大值.【答案】解：3a13b13c1213a113b113c12(121212)3a123b23c233a3b3c31811精品资料________________________________________________________________________________________________________
10、______∴3a13b13c132当且仅当abc1时，3a13b13c1取得最大值32.3注：也可用二元均值不等式13.（1）已知实数a,b,c,d满足：abcd3，a22b23c26d25，试求a的最大值与最小值【答案】14.已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式111≤λ恒成立,求λ的范围.xyyzzx解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得111≤1111(zxy)xyyzzx2xy2yz2zx2xyzxyzxyz1(12
