2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案.doc

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1、2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．设集合，则E的真子集的个数为．2．已知函数的最大值为，则实数．3．若，则使函数为奇函数的的个数为．4．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，

2、，则△的面积为．5．数列满足：，且．记的前项和为，则．6．已知，，过作直线的垂线，垂足为．若，，，则．7．已知实数满足，，则的最小值为．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立．（1）求函数的解析式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．10．已知数列中，，且．4（1）求数列的通项公式；（2）求证：对一切，有．11．设，求使为完全

3、平方数的整数的值．2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）41．15．2．5．3．3．4．．5．89．6．-2．7．12．8．26．9．解:（1）由题设知，．①令，解得，由题意可得，即，所以，即．②由①、②可得．……………………4分又恒成立，即恒成立，所以，且，即，所以，从而．因此函数的解析式为．…8分（2）由得，故．当即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，此不等式组无解．当即时，，矛盾．…12分当即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，解得．综合可知，实数的取值范围是．16分10．解:（1）由已知，对有，两边同除以n，得，即，

4、5分于是，，即，所以，．又时也成立，故．……………………10分4（2）当，有,……15分所以时，有又时，故对一切，有．……………………20分11．设，求使为完全平方数的整数的值．解:．所以，当时，是完全平方数．……5分下证没有其它整数满足要求．（1）当时，有，又，∴，∴．，所以此时不是完全平方数．…10分（2）当时，有．令，则，即，所以，即．解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数．综上所述，使为完全平方数的整数的值为10.……………………20分4