2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

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1、2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．计算：＝5．2．设等差数列的前项和为，已知，则＝____7____．3．已知P是△ABC所在平面上一点，满足，则△ABP与△ABC的面积之比为．4．＝．5．满足方程（）的实数对的个数为8．6．已知函数的定义域为（其中），值域为，则符合条件的数组为．7．设集合.如果方程（）至少有一个根，就称该方

2、程为合格方程，则合格方程的个数为23．8．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解（1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故.------------------------------------------4分又因为二次函数的图象过点（1，13）

3、，所以，故.因此，的解析式为.------------------------------------------8分（2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即.------------------------------------------12分注意到43是质数，且，，所以有解得因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知，关于的方程有一个实根，求的最小值．解设为方程的实根，则有，即.显然.---

4、---------------------------------------5分容易证明，于是.------------------------------------------15分当且仅当且时等号成立，此时，.结合可求得或因此的最小值为8.------------------------------------------20分11．已知数列满足.证明：对一切，有（1）；（2）．解（1）显然，，所以（）.所以，对一切，，所以.--------------------5分所以，当时，，所以.又，故对一切，有.因此，对一切，有.---------------

5、---------------------------10分（2）显然.由，知，所以，所以，所以，------------------------------------------15分所以，当且时，，所以.------------------------------------------20分