复数的减法及其几何意义.doc

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1、复数的减法及其几何意义    教学目标　　1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．　　2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．　　3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．教学重点和难点　　重点：复数减法法则．　　难点：对复数减法几何意义理解和应用．教学过程设计（一）引入新课　　上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法　　复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+i）-（+i）=（-）+（-）i，1．复数

2、减法法则　　（1）规定：复数减法是加法逆运算；　　（2）法则：（+i）-（+i）=（-）+（-）i（，，，∈R）．　　把（+i）-（+i）看成（+i）+（-1）（+i）如何推导这个法则．（+i）-（+i）=（+i）+（-1）（+i）=（+i）+（--i）=（-）+（-）i．　　推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．　　推导：设（+i）-（+i）=+i（，∈R）．即复数+i为复数+i减去复数+i的差．由规定，得（+i）+（+i）=+i，依据加法法则，得（+）+（+）i=+i，依据复数相等定义，得　　故（+i）-（+i）=（-）+（-）i．

3、这样推导每一步都有合理依据．　　我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．　　复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+i）±（+i）=（±）+（±）i．（三）复数减法几何意义　　我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？　　设z=+i（，∈R），z1=+i（，∈R），对应向量分别为，如图　　由于复数减法是加法的逆运算，设z=（-）+（-）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四

4、边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（-）+（-）i对应，如图．　　在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量2吗？ 　　还有．因为OZ2Z1Z，所以向量，也与z-z1差对应．向量是以Z1为起点，Z为终点的向量．　　能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．（四）应用举例　　　　　　在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如

5、图）．　　例2　根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．　　解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=

6、z2-z1

7、．　　例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．　　（1）

8、z-1-i

9、=

10、z+2+i

11、；　　方程左式可以看成

12、z-（1+i）

13、，是复数Z与复数1+i差的模．　　几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也可以写成

14、z-（-2-i）

15、，是复数z

16、与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．　　（2）

17、z+i

18、+

19、z-i

20、=4；　　方程可以看成

21、z-（-i）

22、+

23、z-i

24、=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．　　（3）

25、z+2

26、-

27、z-2

28、=1．　　这个方程可以写成

29、z-（-2）

30、-

31、z-2

32、=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，

33、这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．　　由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=

34、z1-z2

35、，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．　　例4 设动点Z与复数z=+i对应，定点P与复数p=+i对应．求　　（1）复平面内圆的方程；　　解：设定点P为圆心，r为半径，如图　　由圆的定义，得复平面内圆的方程

36、z-p

37、=r．　　（2）复平面内满足不等式

38、z-p

39、＜r（r∈R+）的点Z的集合是什么图形？　　解：复平面内满足不等式

40、z-p

41、＜r（r∈R+）的点的集合是

42、以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结　　我们通过推导得到复数减法法则，并进一步