专题六万有引力定律典型例题.doc

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1、专题六万有引力定律【题型总结】一、万有引力定律在自然界中的应用：（1）割补法：例：如图所示，半径为r的铅球内有一半径为的球形空腔，其表面与球面相切，此铅球的质量为M，在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球（可以看成质点），求铅球小球的引力。解：设想把挖去部分用与铅球同密度的材料填充，填充部分铅球的质量为M1。为了抵消填充球体产生的引力，在右边等距离处又放置一个等质量的球体，如图所示。设放置的球体的质量为M1，则：M1=ρ1π()3=M0=M填补后的铅球质量：M0=M+M1=M原铅球对小球引力：F=F0－F1=－=－=［－］练习：如图所示，一个质

2、量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在距离为d的地方。求下列两种情况下，两球之间的万有引力是多大？（1）从球的正中心挖去（2）从与球相切处挖去解：（1）（2）当d>>R时，计算结果相同。（2）等效法例：在密度为的无限大的液体中，有两个半径为R、密度为的球，相距为d，且>。求两球受到的万有引力。解析：设两球的球心分别是，球的质量为，如果去掉球，只有球单度处于无限大的液体中，由于四周液体对它的引力具有对称性，各质元对它的引力相互平衡，故球受到的合外力为零，将球放回原处后，相当于用密度为的球代替了密度为的同体积液体球，因为>，我们可以用“等效”

3、的观点，将这个代替过程视为处的质量增加了，所以，根据10万有引力定律，两球受到的万有引力是。答案：二、万有引力定律在天文学中的应用：（一）万有引力与重力：例1：宇航员站在一星球表面上的某处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L,若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M。解：设抛出点的高度为h，第一平抛的水平射程为：x，则有①由平抛物体运动规律可知，当抛出的初速度增大到2倍，则水平射程也增大到2x，可得：②由①②解得③设该星球上

4、重力加速度为g，由平抛物体运动规律，得：④设m为小球的质量，则有⑤联立③④⑤，解得例2：火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上做匀加速直线运动。升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求此时火箭离地面的高度（g为地面附近的重力加速度）。解：取测试仪为研究对象，由物体的平衡条件和牛顿第二定律有：由题意知，则又∴，解得点评：物体在地球表面做自由落体运动、抛体运动，通常忽略距地面高度h；物体离开地球表面，在太空中运动，通常不能忽略距地面高度h。10物体在地球表面运动（距地心较近）；通常不能忽略地球半径，物

5、体在太空中运动（距地心较远），通常忽略地球半径。练习1：在地球某处海平面上，测得物体自由下落高度h，所需的时间为t；到高山顶，测得物体自由下落同样高度h，所需时间增加了。已知地球半径为R，试求山的高度H。解：在海平面：，自由落体时间：，在高山顶：，自由落体时间：，由以上两式可得：练习2：地球可视为球体，其自转周期为T。在它的两极处，用弹簧秤测得其物体重为P。在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则地球的平均密度是多少？解析：只有在两极处，重力等于地球对物体的万有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球对物体的万有引力。由于重力与地球对物体的万有引力差别极小，

6、所以通常近似视为重力等于地球对物体的万有引力。解：设被测物体的质量为m，地球的质量为M，半径为R；在两极处时物体的重力等于地球对物体的万有引力。在赤道上，因地球自转物体做匀速圆周运动，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：由以上两式解得地球的质量为：根据数学知识可知地球的体积为根据密度的定义式可得地球的平均密度为[同类变式]某行星一昼夜运动时间T0=8h，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上比在两极处小9%，设想该行星的自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体将完全失重，则这时行星的自转周期为     h。解：解

7、法一：在行星的两极处，弹簧秤的示数为物体受到行星的万有引力F，在赤道处的示数为F'，由题意可知　　F-F'=　①　　当行星自转的角速度加快后，在赤道上的物体完全失重，则F'=0，有　　F=　　　②　　由题意可知　F-F'=0.09F　③　　由①式和③式可得：0.09F=　④　　由②式和④式得　T=0.3T010=2.4h　　解法二：由题意可知，物体在赤道处的失重部分提供其做匀速圆周运动所需要的向心力，即有：　　0.09F=，　　每个行星都有一个第一宇宙速度v1（就是在行星表面所受到的万有引力提供向心力时的速度），且　　　　当行星自转的角速度增大到赤道上的物体完全